Pertanyaan

Tentukan nilai-nilai x dalam interval 0 ∘ < x < 36 0 ∘ yang memenuhi persamaan di bawah ini : sin x ∘ + cos x ∘ = − 2

Tentukan nilai-nilai $x$ dalam interval $0^{\circ} < x < 36 0^{\circ}$ yang memenuhi persamaan di bawah ini :

$sin x^{\circ} + cos x^{\circ} = - 2$

S. Nur

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

nilai x yang memenuhi persamaan adalah 22 5 ∘ .

nilai

x

yang memenuhi persamaan adalah

22 5^{\circ}

Pembahasan

Ingat : R cos ( x − α ) = a cos x + b sin x , dengan R = a 2 + b 2 dan α = tan − 1 ( a b ) Penyelesaian persamaan a cos x ∘ + b sin x ∘ = c , ∣ c ∣ ≤ R : x = α ± cos ( R c ) + k ⋅ 36 0 ∘ , k ∈ 36 0 ∘ Diketahui dari soal : sin x ∘ + cos x ∘ − sin x ∘ − cos x ∘ = = − 2 2 Berdasarkan konsep di atas maka diperoleh : R cos ( x − α ) − sin x ∘ − cos x ∘ R R = = = = a cos x + b sin x R cos ( x − α ) ∘ = 2 a 2 + b 2 ( − 1 ) 2 + ( − 1 ) 2 = 1 + 1 = 2 Karena ( − 1 , − 1 ) berada di kuadran ketigamaka α juga di kuadran tigadengan tan α = − 1 − 1 = 1 . Perhatikan : dimana α = π + θ Karena α = π + θ maka : θ = tan − 1 1 = 4 5 ∘ α = π + θ = 22 5 ∘ Sehingga diperoleh persamaan 2 cos ( x − 225 ) ∘ = 2 . Maka diperoleh : 2 cos ( x − 225 ) ∘ cos ( x − 225 ) ∘ ( x − 225 ) ∘ x cos − 1 1 x 1 x 2 u n t u k k x 1 x 2 = = = = = = = = = = 2 2 2 = 1 cos − 1 1 α ± cos ( R c ) + k ⋅ 36 0 ∘ 0 ∘ α + cos ( R c ) + k ⋅ 36 0 ∘ α − cos ( R c ) + k ⋅ 36 0 ∘ 0 : 22 5 ∘ + 0 ∘ = 22 5 ∘ 22 5 ∘ − 0 ∘ = 22 5 ∘ Dengan demikian, nilai x yang memenuhi persamaan adalah 22 5 ∘ .

Ingat :

$R cos (x - α) = a cos x + b sin x, dengan R = a^{2} + b^{2} dan α = tan^{- 1} (\frac{b}{a})$
Penyelesaian persamaan $a cos x^{\circ} + b sin x^{\circ} = c, ∣ c ∣ \leq R$ :

$x = α \pm cos (\frac{c}{R}) + k \cdot 36 0^{\circ}, k \in 36 0^{\circ}$

Diketahui dari soal :

$sin x^{\circ} + cos x^{\circ} - sin x^{\circ} - cos x^{\circ} = = - 2 2$

Berdasarkan konsep di atas maka diperoleh :

$R cos (x - α) - sin x^{\circ} - cos x^{\circ} R R = = = = a cos x + b sin x R cos (x - α)^{\circ} = 2 a^{2} + b^{2} (- 1)^{2} + (- 1)^{2} = 1 + 1 = 2$

Karena $(- 1, - 1)$ berada di kuadran ketiga maka $α$ juga di kuadran tiga dengan $tan α = \frac{- 1}{- 1} = 1$ . Perhatikan :

dimana $α = π + θ$

Karena $α = π + θ$ maka :

$θ = tan^{- 1} 1 = 4 5^{\circ} α = π + θ = 22 5^{\circ}$

Sehingga diperoleh persamaan $2 cos (x - 225)^{\circ} = 2$ . Maka diperoleh :

$2 cos (x - 225)^{\circ} cos (x - 225)^{\circ} (x - 225)^{\circ} x cos^{- 1} 1 x_{1} x_{2} u n t u k k x_{1} x_{2} = = = = = = = = = = 2 \frac{2}{2} = 1 cos^{- 1} 1 α \pm cos (\frac{c}{R}) + k \cdot 36 0^{\circ} 0^{\circ} α + cos (\frac{c}{R}) + k \cdot 36 0^{\circ} α - cos (\frac{c}{R}) + k \cdot 36 0^{\circ} 0 : 22 5^{\circ} + 0^{\circ} = 22 5^{\circ} 22 5^{\circ} - 0^{\circ} = 22 5^{\circ}$