Pertanyaan

Tentukan nilai-nilai x dalam interval 0 ≤ x ≤ 2 π yang memenuhi persamaan di bawah ini : sin x + 2 cos x + 1 = 0

Tentukan nilai-nilai $x$ dalam interval $0 \leq x \leq 2 π$ yang memenuhi persamaan di bawah ini :

$sin x + 2 cos x + 1 = 0$

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

S. Nur

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

nilai x yang memenuhi persamaan adalah { 0 , 79 π , 1 , 49 π } .

nilai

x

yang memenuhi persamaan adalah

{0, 79 π, 1, 49 π}

Pembahasan

Ingat : R cos ( x − α ) = a cos x + b sin x , dengan R = a 2 + b 2 dan α = tan − 1 ( a b ) Penyelesaian persamaan a cos x ∘ + b sin x ∘ = c , ∣ c ∣ ≤ R : x = α ± cos ( R c ) + k ⋅ 36 0 ∘ , k ∈ 36 0 ∘ Diketahui dari soal : sin x + 2 cos x + 1 sin x + 2 cos x − sin x − 2 cos x = = = 0 − 1 1 Berdasarkan konsep di atas maka diperoleh : R cos ( x − α ) − sin x − 2 cos x R R = = = = a cos x + b sin x R cos ( x − α ) = − 1 a 2 + b 2 ( − 2 ) 2 + ( − 1 ) 2 = 4 + 1 = 5 Karena ( − 2 , − 1 ) berada di kuadran tiga maka α juga di kuadran tiga dengan tan α = − 2 − 1 = 2 1 . Perhatikan : dimana α = π + θ Karena α = π + θ maka : θ = tan − 1 ( 2 1 ) = 26 , 5 6 ∘ = 0 , 14 π α = π + θ = 1 , 14 π Sehingga diperoleh persamaan 5 cos ( x − 1 , 14 π ) = 1 . Maka diperoleh : 5 cos ( x − 1 , 14 π ) cos ( x − 1 , 14 π ) ( x − 1 , 14 π ) x cos − 1 ( 5 1 ) x 1 x 2 untuk k x 1 x 2 = = = = = = = = = = 1 5 1 cos − 1 ( 5 1 ) α ± cos ( R c ) + k ⋅ 2 π 63 , 4 3 ∘ = 0 , 35 π α + cos ( R c ) + k ⋅ 2 π α − cos ( R c ) + k ⋅ 2 π 0 : 1 , 14 π + 0 , 35 π = 1 , 49 π 1 , 14 π − 0 , 35 π = 0 , 79 π Dengan demikian, nilai x yang memenuhi persamaan adalah { 0 , 79 π , 1 , 49 π } .

Ingat :

$R cos (x - α) = a cos x + b sin x, dengan R = a^{2} + b^{2} dan α = tan^{- 1} (\frac{b}{a})$
Penyelesaian persamaan $a cos x^{\circ} + b sin x^{\circ} = c, ∣ c ∣ \leq R$ :

$x = α \pm cos (\frac{c}{R}) + k \cdot 36 0^{\circ}, k \in 36 0^{\circ}$

Diketahui dari soal :

$sin x + 2 cos x + 1 sin x + 2 cos x - sin x - 2 cos x = = = 0 - 1 1$

Berdasarkan konsep di atas maka diperoleh :

$R cos (x - α) - sin x - 2 cos x R R = = = = a cos x + b sin x R cos (x - α) = - 1 a^{2} + b^{2} (- 2)^{2} + (- 1)^{2} = 4 + 1 = 5$

Karena $(- 2, - 1)$ berada di kuadran tiga maka $α$ juga di kuadran tiga dengan $tan α = \frac{- 1}{- 2} = \frac{1}{2}$ . Perhatikan :

dimana $α = π + θ$

Karena $α = π + θ$ maka :

$θ = tan^{- 1} (\frac{1}{2}) = 26, 5 6^{\circ} = 0, 14 π α = π + θ = 1, 14 π$

Sehingga diperoleh persamaan $5 cos (x - 1, 14 π) = 1$ . Maka diperoleh :

$5 cos (x - 1, 14 π) cos (x - 1, 14 π) (x - 1, 14 π) x cos^{- 1} (\frac{1}{5}) x_{1} x_{2} untuk k x_{1} x_{2} = = = = = = = = = = 1 \frac{1}{5} cos^{- 1} (\frac{1}{5}) α \pm cos (\frac{c}{R}) + k \cdot 2 π 63, 4 3^{\circ} = 0, 35 π α + cos (\frac{c}{R}) + k \cdot 2 π α - cos (\frac{c}{R}) + k \cdot 2 π 0 : 1, 14 π + 0, 35 π = 1, 49 π 1, 14 π - 0, 35 π = 0, 79 π$