Roboguru

Untuk setiap bilangan asli n, perhatikan pernyataan-pernyataan berikut. 1)   7n+2+82n+1  habis dibagi 3. 2)   33n−2+73n−2  habis dibagi 5. Menggunakan induksi matematika, pernyataan yang bernilai benar ditunjukkan oleh nomor ....

Pertanyaan

Untuk setiap bilangan asli n, perhatikan pernyataan-pernyataan berikut.

1)   begin mathsize 14px style 7 to the power of n plus 2 end exponent plus 8 to the power of 2 n plus 1 end exponent end style  habis dibagi 3.

2)   begin mathsize 14px style 3 to the power of 3 n minus 2 end exponent plus 7 to the power of 3 n minus 2 end exponent end style  habis dibagi 5.

Menggunakan induksi matematika, pernyataan yang bernilai benar ditunjukkan oleh nomor ....
 

  1. 1) saja

  2. 2) saja

  3. 1) dan 2)

  4. tidak keduanya

     

  5. tidak dapat ditentukan

Pembahasan:

Pernyataan 1 :

 

Perhatikan pernyataan

 

begin mathsize 14px style P subscript n colon 7 to the power of n plus 2 end exponent plus 8 to the power of 2 n plus 1 end exponent end style  habis dibagi 3

untuk setiap bilangan asli n.

 

Karena akan dibuktikan pernyataan untuk setiap bilangan asli n, yaitu n ≥ 1 , maka langkah pertamanya adalah buktikan P1 benar.

 

LANGKAH 1 : Buktikan P1 benar.

Perhatikan pernyataan

begin mathsize 14px style P subscript n colon 7 to the power of n plus 2 end exponent plus 8 to the power of 2 n plus 1 end exponent end style  habis dibagi 3

Kemudian didapat

begin mathsize 14px style P subscript 1 colon 7 to the power of 1 plus 2 end exponent plus 8 to the power of 2 open parentheses 1 close parentheses plus 1 end exponent end style   habis dibagi 3

Perhatikan bahwa begin mathsize 14px style 7 to the power of 1 plus 2 end exponent plus 8 to the power of 2 open parentheses 1 close parentheses plus 1 end exponent equals 7 cubed plus 8 cubed equals 343 plus 512 equals 855. end style  

Karena 855 habis dibagi 3, maka begin mathsize 14px style 7 to the power of 1 plus 2 end exponent plus 8 to the power of 2 open parentheses 1 close parentheses plus 1 end exponent end style   habis dibagi 3.

Sehingga P1 benar.

LANGKAH 2 : Buktikan untuk sembarang bilangan asli k, jika Pk bernilai benar mengakibatkan Pk+1 bernilai benar.

Perhatikan pernyataan

begin mathsize 14px style P subscript n colon 7 to the power of n plus 2 end exponent plus 8 to the power of 2 n plus 1 end exponent end style   habis dibagi 3

Asumsikan

begin mathsize 14px style P subscript k colon 7 to the power of k plus 2 end exponent plus 8 to the power of 2 k plus 1 end exponent end style   habis dibagi 3

bernilai benar.

Perhatikan

begin mathsize 14px style P subscript k plus 1 end subscript colon 7 to the power of open parentheses k plus 1 close parentheses plus 2 end exponent plus 8 to the power of 2 open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 end exponent end style   habis dibagi 3

Perhatikan bahwa

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 7 to the power of open parentheses k plus 1 close parentheses plus 2 end exponent plus 8 to the power of 2 open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 end exponent end cell equals cell 7 to the power of k plus 3 end exponent plus 8 to the power of 2 k plus 3 end exponent end cell row blank equals cell 7 to the power of k plus 2 plus 1 end exponent plus 8 to the power of 2 k plus 1 plus 2 end exponent end cell row blank equals cell 7 bullet 7 to the power of k plus 2 end exponent plus 8 squared bullet 8 to the power of 2 k plus 1 end exponent end cell row blank equals cell 7 bullet 7 to the power of k plus 2 end exponent plus 64 bullet 8 to the power of 2 k plus 1 end exponent end cell row blank equals cell 7 bullet 7 to the power of k plus 2 end exponent plus 7 bullet 8 to the power of 2 k plus 1 end exponent plus 57 bullet 8 to the power of 2 k plus 1 end exponent end cell row blank equals cell 7 open parentheses 7 to the power of k plus 2 end exponent plus 8 to the power of 2 k plus 1 end exponent close parentheses plus 57 bullet 8 to the power of 2 k plus 1 end exponent end cell end table end style   

Karena begin mathsize 14px style open parentheses 7 to the power of k plus 2 end exponent plus 8 to the power of 2 k plus 1 end exponent close parentheses end style  habis dibagi 3, maka begin mathsize 14px style 7 open parentheses 7 to the power of k plus 2 end exponent plus 8 to the power of 2 k plus 1 end exponent close parentheses end style  juga habis dibagi 3.

Karena 57 habis dibagi 3, maka begin mathsize 14px style 57 bullet 8 to the power of 2 k plus 1 end exponent end style  juga habis dibagi 3.

Sehingga didapat bahwa begin mathsize 14px style 7 open parentheses 7 to the power of k plus 2 end exponent plus 8 to the power of 2 k plus 1 end exponent close parentheses plus 57 bullet 8 to the power of 2 k plus 1 end exponent end style  habis dibagi 3 atau begin mathsize 14px style 7 to the power of open parentheses k plus 1 close parentheses plus 2 end exponent plus 8 to the power of 2 open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 end exponent end style  bernilai benar.

Karena

1.    P1 benar.

2.    Untuk sembarang bilangan asli k, jika Pk bernilai benar mengakibatkan Pk+1 bernilai benar.

Maka, Pn benar untuk setiap bilangan asli n , menurut prinsip induksi matematika.

 

Pernyataan 2 :

Perhatikan pernyataan

begin mathsize 14px style P subscript n colon 3 to the power of 3 n minus 2 end exponent plus 7 to the power of 3 n minus 2 end exponent end style   habis dibagi 5

untuk setiap bilangan asli n.

 

Karena akan dibuktikan pernyataan untuk setiap bilangan asli n, yaitu n ≥ 1 , maka langkah pertamanya adalah buktikan P1 benar.

 

LANGKAH 1 : Buktikan P1 benar.

Perhatikan pernyataan

undefined   habis dibagi 5

Kemudian didapat

begin mathsize 14px style P subscript 1 colon 3 to the power of 3 open parentheses 1 close parentheses minus 2 end exponent plus 7 to the power of 3 open parentheses 1 close parentheses minus 2 end exponent end style   habis dibagi 5

Perhatikan bahwa begin mathsize 14px style 3 to the power of 3 open parentheses 1 close parentheses minus 2 end exponent plus 7 to the power of 3 open parentheses 1 close parentheses minus 2 end exponent equals 3 to the power of 1 plus 7 to the power of 1 equals 3 plus 7 equals 10. end style  

Karena 10 habis dibagi 5, maka begin mathsize 14px style 3 to the power of 3 open parentheses 1 close parentheses minus 2 end exponent plus 7 to the power of 3 open parentheses 1 close parentheses minus 2 end exponent end style   habis dibagi 5.

Sehingga P1 benar.

LANGKAH 2 : Buktikan untuk sembarang bilangan asli k, jika Pk bernilai benar mengakibatkan Pk+1 bernilai benar.

Perhatikan pernyataan

undefined  habis dibagi 5

Asumsikan

begin mathsize 14px style P subscript k colon 3 to the power of 3 k minus 2 end exponent plus 7 to the power of 3 k minus 2 end exponent end style   habis dibagi 5

bernilai benar.

Perhatikan

begin mathsize 14px style P subscript k plus 1 end subscript colon 3 to the power of 3 open parentheses k plus 1 close parentheses minus 2 end exponent plus 7 to the power of 3 open parentheses k plus 1 close parentheses minus 2 end exponent end style   habis dibagi 5

Perhatikan bahwa

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 3 to the power of 3 open parentheses k plus 1 close parentheses minus 2 end exponent plus 7 to the power of 3 open parentheses k plus 1 close parentheses minus 2 end exponent end cell equals cell 3 to the power of 3 k plus 1 end exponent plus 7 to the power of 3 k plus 1 end exponent end cell row blank equals cell 3 to the power of 3 k minus 2 plus 3 end exponent plus 7 to the power of 3 k minus 2 plus 3 end exponent end cell row blank equals cell 3 cubed bullet 3 to the power of 2 k minus 2 end exponent plus 7 cubed bullet 7 to the power of 2 k minus 2 end exponent end cell row blank equals cell 27 bullet 3 to the power of 2 k minus 2 end exponent plus 343 bullet 7 to the power of 2 k minus 2 end exponent end cell row blank equals cell 27 bullet 3 to the power of 2 k minus 2 end exponent plus 27 bullet 7 to the power of 2 k minus 2 end exponent plus 316 bullet 7 to the power of 2 k minus 2 end exponent end cell row blank equals cell 27 open parentheses 3 to the power of 2 k minus 2 end exponent plus 7 to the power of 2 k minus 2 end exponent close parentheses plus 316 bullet 7 to the power of 2 k minus 2 end exponent end cell end table end style    

Karena begin mathsize 14px style open parentheses 3 to the power of 2 k minus 2 end exponent plus 7 to the power of 2 k minus 2 end exponent close parentheses end style  habis dibagi 5, maka begin mathsize 14px style 27 open parentheses 3 to the power of 2 k minus 2 end exponent plus 7 to the power of 2 k minus 2 end exponent close parentheses end style  juga habis dibagi 5.

Namun perhatikan bahwa begin mathsize 14px style 316 bullet 7 to the power of 2 k minus 2 end exponent end style  tidaklah habis dibagi 5.

Sehingga begin mathsize 14px style 27 open parentheses 3 to the power of 2 k minus 2 end exponent plus 7 to the power of 2 k minus 2 end exponent close parentheses plus 316 bullet 7 to the power of 2 k minus 2 end exponent end style  tidak habis dibagi 5 atau begin mathsize 14px style P subscript k plus 1 end subscript end style  bernilai salah.

Karena

1.    P1 benar.

2.    Namun untuk sembarang bilangan asli k, jika Pk bernilai benar mengakibatkan Pk+1 bernilai salah.

Maka, Pn tidak benar untuk setiap bilangan asli n , menurut prinsip induksi matematika.

Dengan demikian, menggunakan induksi matematika, pernyataan yang bernilai benar ditunjukkan oleh nomor 1).

Jadi, jawaban yang tepat adalah A.

Jawaban terverifikasi

Dijawab oleh:

Terakhir diupdate 04 Oktober 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan serupa

Perhatikan pernyataan berikut Pn​:52n−32n  habis dibagi 16 untuk setiap bilangan asli n. Dengan menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ....

0

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved