Pertanyaan

Untuk n ∈ { bilangan asli } , buktikan bahwa i = 1 ∑ n ( 2 i − 1 ) 2 = 3 ( 2 n − 1 ) ⋅ n ( 2 n + 1 )

Untuk $n \in {bilangan asli}$ , buktikan bahwa

$i = 1 \sum n (2 i - 1)^{2} = \frac{( 2 n - 1 ) \cdot n ( 2 n + 1 )}{3}$

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

I. Sutiawan

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pasundan

Jawaban terverifikasi

Jawaban

Untuk berlaku .

Untuk

berlaku $begin mathsize 14px style sum from i equals 1 to n of open parentheses 2 i minus 1 close parentheses squared equals fraction numerator open parentheses 2 n minus 1 close parentheses times n open parentheses 2 n plus 1 close parentheses over denominator 3 end fraction end style$ .

Pembahasan

Langkah-langkah induksi: 1. Buktikan untuk bilangan 1, pernyataan tersebut benar. ( 2 ( 1 ) − 1 ) 2 1 1 = = = 3 ( 2 ( 1 ) − 1 ) ⋅ ( 1 ) ( 2 ( 1 ) + 1 ) 3 1 ⋅ 1 ⋅ 3 1 Benar untuk . 2. Nyatakan untuk bilangan asli sembarang, misalnya n = k , pernyataan tersebut diasumsikan benar. i = 1 ∑ k ( 2 i − 1 ) 2 = 3 ( 2 k − 1 ) ⋅ k ( 2 k + 1 ) 3. Untuk n = k + 1 akan dibuktikan i = 1 ∑ k + 1 ( 2 i − 1 ) 2 = 3 ( 2 ( k + 1 ) − 1 ) ( k + 1 ) ( 2 ( k + 1 ) + 1 ) Maka: = = = = = = = = = = = = ∑ i = 1 k + 1 ( 2 i − 1 ) 2 ∑ i = 1 k ( 2 i − 1 ) 2 + ( 2 ( k + 1 ) − 1 ) 2 3 ( 2 k − 1 ) ⋅ k ( 2 k + 1 ) + ( 2 ( k + 1 ) − 1 ) 2 3 ( 2 k − 1 ) ⋅ k ( 2 k + 1 ) + 2 k + 1 2 3 ( 2 k − 1 ) ⋅ k ( 2 k + 1 ) + 3 3 ( 2 k + 1 ) 2 3 ( 2 k − 1 ) ⋅ k ⋅ ( 2 k + 1 ) + 3 ( 2 k + 1 ) 2 3 ( 2 k + 1 ) ( 2 k 2 − k + 3 ( 2 k + 1 )) 3 ( 2 k + 1 ) ( 2 k 2 − k + 6 k + 3 ) 3 ( 2 k + 1 ) ( 2 k 2 + 5 k + 3 ) 3 ( 2 k + 1 ) ( k + 1 ) ( 2 k + 3 ) 3 ( 2 k + 1 ) ( k + 1 ) ( 2 k + 3 ) 3 ( 2 k + 2 − 1 ) ( k + 1 ) ( 2 k + 2 + 1 ) 3 ( 2 ( k + 1 ) − 1 ) ( k + 1 ) ( 2 ( k + 1 ) + 1 ) Dengan demikian, Untuk berlaku .

Langkah-langkah induksi:

1. Buktikan untuk bilangan 1, pernyataan tersebut benar.

$(2 (1) - 1)^{2} 11 = = = \frac{( 2 ( 1 ) - 1 ) \cdot ( 1 ) ( 2 ( 1 ) + 1 )}{3} \frac{1 \cdot 1 \cdot 3}{3} 1$

Benar untuk n equals 1 .

2. Nyatakan untuk bilangan asli sembarang, misalnya $n = k$ , pernyataan tersebut diasumsikan benar.

$i = 1 \sum k (2 i - 1)^{2} = \frac{( 2 k - 1 ) \cdot k ( 2 k + 1 )}{3}$

3. Untuk $n = k + 1$ akan dibuktikan

$i = 1 \sum k + 1 (2 i - 1)^{2} = \frac{( 2 ( k + 1 ) - 1 ) ( k + 1 ) ( 2 ( k + 1 ) + 1 )}{3}$

Maka:

$= = = = = = = = = = = = \sum_{i = 1}^{k + 1} (2 i - 1)^{2} \sum_{i = 1}^{k} (2 i - 1)^{2} + (2 (k + 1) - 1)^{2} \frac{( 2 k - 1 ) \cdot k ( 2 k + 1 )}{3} + (2 (k + 1) - 1)^{2} \frac{( 2 k - 1 ) \cdot k ( 2 k + 1 )}{3} + 2 k + 1^{2} \frac{( 2 k - 1 ) \cdot k ( 2 k + 1 )}{3} + \frac{3 ( 2 k + 1 ) ^{2}}{3} \frac{( 2 k - 1 ) \cdot k \cdot ( 2 k + 1 ) + 3 ( 2 k + 1 ) ^{2}}{3} \frac{( 2 k + 1 ) ( 2 k ^{2} - k + 3 ( 2 k + 1 ))}{3} \frac{( 2 k + 1 ) ( 2 k ^{2} - k + 6 k + 3 )}{3} \frac{( 2 k + 1 ) ( 2 k ^{2} + 5 k + 3 )}{3} \frac{( 2 k + 1 ) ( k + 1 ) ( 2 k + 3 )}{3} \frac{( 2 k + 1 ) ( k + 1 ) ( 2 k + 3 )}{3} \frac{( 2 k + 2 - 1 ) ( k + 1 ) ( 2 k + 2 + 1 )}{3} \frac{( 2 ( k + 1 ) - 1 ) ( k + 1 ) ( 2 ( k + 1 ) + 1 )}{3}$

Dengan demikian, Untuk berlaku $begin mathsize 14px style sum from i equals 1 to n of open parentheses 2 i minus 1 close parentheses squared equals fraction numerator open parentheses 2 n minus 1 close parentheses times n open parentheses 2 n plus 1 close parentheses over denominator 3 end fraction end style$ .

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (1 rating)

Pertanyaan serupa

Gunakan prinsip induksi matematika untuk membuktikan setiap notasi sigma berikut. a. k = 1 ∑ n k 2 + k 1 = n + 1 n

1.0

Jawaban terverifikasi

Buktikanlah. d. k = 1 ∑ n 2 k − 1 2 k − 1 = 6 − 2 n − 1 2 n + 3

4.0

Jawaban terverifikasi

Diberikan pernyataan 1 + 2 + 3 + ⋯ + n = 2 ( n + 2 1 ) 2 untuk setiap bilangan asli n . Dengan menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ....

5.0

Jawaban terverifikasi

Use the method of mathematical induction to prove that, for all positive integers n , ( 1 × 4 ) + ( 2 × 5 ) + ( 3 × 6 ) + ... + n ( n + 3 ) = 3 1 n ( n + 1 ) ( n + 5 )

0.0

Jawaban terverifikasi

Dengan menggunakan induksi matematika, rumus deret 1 + 8 + 27 + 64 + 125 + ⋯ + n 3 adalah ....

3.0

Jawaban terverifikasi