Pertanyaan

Tunjukan bahwa: c. ( cos 2 x − sin 2 x ) = 1 − sin x

Tunjukan bahwa:

c. $(cos \frac{x}{2} - sin \frac{x}{2}) = 1 - sin x$

E. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret

Jawaban terverifikasi

Jawaban

terbukti bahwa, ( cos 2 x − sin 2 x ) = 1 − sin x .

terbukti bahwa,

(cos \frac{x}{2} - sin \frac{x}{2}) = 1 - sin x

Pembahasan

Ingat kembali rumus: sin 2 A cos 2 A = = ± 2 1 − c o s A ± 2 1 + c o s A 1 − cos 2 A = sin 2 A ( a − b ) 2 = a 2 + b 2 − 2 ab ( a − b ) ( a + b ) = a 2 − b 2 Akan ditunjukkan bahwa, ( cos 2 x − sin 2 x ) = 1 − sin x , kita asumsikan sudut 2 x berada di kuadran pertama, maka cos 2 x dan sin 2 x bernilai positif, sehingga: = = = = = = = ( cos 2 x − sin 2 x ) ( 2 1 + c o s A − 2 1 − c o s A ) 2 2 1 + c o s A + 2 1 − c o s A − 2 ( 2 1 + c o s A ⋅ 2 1 − c o s A ) 2 2 − 2 4 ( 1 + c o s A ) ( 1 − c o s A ) 1 − 2 4 1 2 − c o s 2 A 1 − 2 4 s i n 2 A 1 − 2 2 sinA 1 − sin A ( terbukti ) Jadi, terbukti bahwa, ( cos 2 x − sin 2 x ) = 1 − sin x .

Ingat kembali rumus:

$sin \frac{A}{2} cos \frac{A}{2} = = \pm \frac{1 - c o s A}{2} \pm \frac{1 + c o s A}{2}$

$1 - cos^{2} A = sin^{2} A$

$(a - b)^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab (a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$

Akan ditunjukkan bahwa, $(cos \frac{x}{2} - sin \frac{x}{2}) = 1 - sin x$ , kita asumsikan sudut $\frac{x}{2}$ berada di kuadran pertama, maka $cos \frac{x}{2}$ dan $sin \frac{x}{2}$ bernilai positif, sehingga:

$= = = = = = = (cos \frac{x}{2} - sin \frac{x}{2}) (\frac{1 + c o s A}{2} - \frac{1 - c o s A}{2})^{2} \frac{1 + c o s A}{2} + \frac{1 - c o s A}{2} - 2 (\frac{1 + c o s A}{2} \cdot \frac{1 - c o s A}{2}) \frac{2}{2} - 2 \frac{( 1 + c o s A ) ( 1 - c o s A )}{4} 1 - 2 \frac{1 ^{2} - c o s ^{2} A}{4} 1 - 2 \frac{s i n ^{2} A}{4} 1 - \frac{2 sinA}{2} 1 - sin A (terbukti)$