Pertanyaan

Jika α dan β adalah sudut-sudut lancip dengan tan α = 24 7 dan cotan α = 12 5 , hitunglah: c. cos ( 2 1 α + β ) .

Jika $α$ dan $β$ adalah sudut-sudut lancip dengan $tan α = \frac{7}{24}$ dan $cotan α = \frac{5}{12}$ , hitunglah:

c. $cos (\frac{1}{2} α + β)$ .

D. Rajib

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Muhammadiyah Malang

Jawaban terverifikasi

Jawaban

nilai dari cos ( 2 1 α + β ) adalah 130 23 2

nilai dari

cos (\frac{1}{2} α + β)

adalah

\frac{23}{130} 2

Pembahasan

Ingat kembali rumus: sin 2 A = ± 2 1 − cos A cos 2 A = ± 2 1 + cos A sin A cos A tan A cotan A = = = = miring depan miring samping samping depan depan samping cos ( A + B ) = cos A cos B − sin A sin B Pada soal di atas, terdapat kekeliruan pada penulisan soal, yaitu co tan α = 12 5 , kita asumsikan, co tan β = 12 5 . Pertama untuk sudut α : tan α = 24 7 samping depan = 24 7 ⇒ depan = 7 ⇒ samping = 24 Sehingga dengan menggunakan teorema Pytahgoras: miring = = = = depan 2 + samping 2 7 2 + 2 4 2 625 25 Sehingga diperoleh: sin α cos α = = = = miring depan 25 7 miring samping 25 24 Untuk sudut β : cotan β depan samping = = 12 5 12 5 ⇒ samping = 5 ⇒ depan = 12 Sehingga dengan menggunakan teorema Pytahgoras: miring = = = = samping 2 + depan 2 5 2 + 1 2 2 169 13 Sehingga diperoleh: sin β cos β = = = = miring depan 13 12 miring samping 13 5 karena diketahui bahwa sudut α dan β adalah sudut-sudut lancip maka sudut 2 α juga sudut lancip dan berada pada kuadran I, sehingga: cos ( 2 1 α + β ) = = = = = = = = = = = cos 2 1 α cos β − sin 2 1 α sin β 2 1 + c o s α cos β − 2 1 − c o s α sin β 2 1 + 25 24 ⋅ 13 5 − 2 1 − 25 24 ⋅ 13 12 2 25 25 + 24 ⋅ 13 5 − 2 25 25 − 24 ⋅ 13 12 2 ⋅ 25 49 ⋅ 13 5 − 2 ⋅ 25 1 ⋅ 13 12 5 7 2 1 ⋅ 13 5 − 5 1 ⋅ 2 1 ⋅ 13 12 65 35 2 1 − 65 12 2 1 65 35 − 12 2 1 65 23 2 1 65 23 ( 2 1 2 ) 130 23 2 Jadi, nilai dari cos ( 2 1 α + β ) adalah 130 23 2

Ingat kembali rumus:

$sin \frac{A}{2} = \pm \frac{1 - cos A}{2} cos \frac{A}{2} = \pm \frac{1 + cos A}{2}$

$sin A cos A tan A cotan A = = = = \frac{depan}{miring} \frac{samping}{miring} \frac{depan}{samping} \frac{samping}{depan}$

$cos (A + B) = cos A cos B - sin A sin B$

Pada soal di atas, terdapat kekeliruan pada penulisan soal, yaitu $co tan α = \frac{5}{12}$ , kita asumsikan, $co tan β = \frac{5}{12}$ .

Pertama untuk sudut $α$ :

$tan α = \frac{7}{24} \frac{depan}{samping} = \frac{7}{24} \Rightarrow depan = 7 \Rightarrow samping = 24$

Sehingga dengan menggunakan teorema Pytahgoras:

$miring = = = = depan^{2} + samping^{2} 7^{2} + 2 4^{2} 62525$

Sehingga diperoleh:

$sin α cos α = = = = \frac{depan}{miring} \frac{7}{25} \frac{samping}{miring} \frac{24}{25}$

Untuk sudut $β$ :

$cotan β \frac{samping}{depan} = = \frac{5}{12} \frac{5}{12} \Rightarrow samping = 5 \Rightarrow depan = 12$

Sehingga dengan menggunakan teorema Pytahgoras:

$miring = = = = samping^{2} + depan^{2} 5^{2} + 1 2^{2} 16913$

Sehingga diperoleh:

$sin β cos β = = = = \frac{depan}{miring} \frac{12}{13} \frac{samping}{miring} \frac{5}{13}$

karena diketahui bahwa sudut $α$ dan $β$ adalah sudut-sudut lancip maka sudut $\frac{α}{2}$ juga sudut lancip dan berada pada kuadran I, sehingga:

$cos (\frac{1}{2} α + β) = = = = = = = = = = = cos \frac{1}{2} α cos β - sin \frac{1}{2} α sin β \frac{1 + c o s α}{2} cos β - \frac{1 - c o s α}{2} sin β \frac{1 + \frac{24}{25}}{2} \cdot \frac{5}{13} - \frac{1 - \frac{24}{25}}{2} \cdot \frac{12}{13} \frac{\frac{25 + 24}{25}}{2} \cdot \frac{5}{13} - \frac{\frac{25 - 24}{25}}{2} \cdot \frac{12}{13} \frac{49}{2 \cdot 25} \cdot \frac{5}{13} - \frac{1}{2 \cdot 25} \cdot \frac{12}{13} \frac{7}{5} \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{13} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{12}{13} \frac{35}{65} \frac{1}{2} - \frac{12}{65} \frac{1}{2} \frac{35 - 12}{65} \frac{1}{2} \frac{23}{65} \frac{1}{2} \frac{23}{65} (\frac{1}{2} 2) \frac{23}{130} 2$