Pertanyaan

Jika α dan β adalah sudut-sudut lancip dengan tan α = 24 7 dan cotan α = 12 5 , hitunglah: h. cos ( α − 2 1 β )

Jika $α$ dan $β$ adalah sudut-sudut lancip dengan $tan α = \frac{7}{24}$ dan $cotan α = \frac{5}{12}$ , hitunglah:

h. $cos (α - \frac{1}{2} β)$

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

D. Rajib

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Muhammadiyah Malang

Jawaban terverifikasi

Jawaban

nilai dari cos ( α − 2 1 β ) adalah 325 86 13 .

nilai dari

cos (α - \frac{1}{2} β)

adalah

\frac{86}{325} 13

Pembahasan

Ingat kembali rumus: sin 2 A = ± 2 1 − cos A cos 2 A = ± 2 1 + cos A sin A cos A tan A cotan A = = = = miring depan miring samping samping depan depan samping cos ( A − B ) = cos A cos B + sin A sin B Pada soal di atas, terdapat kekeliruan pada penulisan soal, yaitu co tan α = 12 5 , kita asumsikan, co tan β = 12 5 . Pertama untuk sudut α : tan α = 24 7 samping depan = 24 7 ⇒ depan = 7 ⇒ samping = 24 Sehingga dengan menggunakan teorema Pytahgoras: miring = = = = depan 2 + samping 2 7 2 + 2 4 2 625 25 Sehingga diperoleh: sin α cos α = = = = miring depan 25 7 miring samping 25 24 Untuk sudut β : cotan β depan samping = = 12 5 12 5 ⇒ samping = 5 ⇒ depan = 12 Sehingga dengan menggunakan teorema Pytahgoras: miring = = = = samping 2 + depan 2 5 2 + 1 2 2 169 13 Sehingga diperoleh: sin β cos β = = = = miring depan 13 12 miring samping 13 5 karena diketahui bahwa sudut α dan β adalah sudut-sudut lancip maka sudut 2 α juga sudut lancip dan berada pada kuadran I, sehingga: cos ( α − 2 1 β ) = = = = = = = = = = cos α cos 2 1 β + sin α sin 2 1 β cos α 2 1 + c o s β + sin α 2 1 − c o s β 25 24 ⋅ 2 1 + 13 5 + 25 7 2 1 − 13 5 25 24 ⋅ 2 13 13 + 5 + 25 7 2 13 13 − 5 25 24 ⋅ 2 13 18 + 25 7 2 13 8 25 24 ⋅ 13 9 + 25 7 13 4 25 24 ⋅ 1 3 13 1 + 25 7 ⋅ 1 2 13 1 ( 25 72 + 25 14 ) 13 1 25 86 ( 13 1 13 ) 325 86 13 Jadi, nilai dari cos ( α − 2 1 β ) adalah 325 86 13 .

Ingat kembali rumus:

$sin \frac{A}{2} = \pm \frac{1 - cos A}{2} cos \frac{A}{2} = \pm \frac{1 + cos A}{2}$

$sin A cos A tan A cotan A = = = = \frac{depan}{miring} \frac{samping}{miring} \frac{depan}{samping} \frac{samping}{depan}$

$cos (A - B) = cos A cos B + sin A sin B$

Pada soal di atas, terdapat kekeliruan pada penulisan soal, yaitu $co tan α = \frac{5}{12}$ , kita asumsikan, $co tan β = \frac{5}{12}$ .

Pertama untuk sudut $α$ :

$tan α = \frac{7}{24} \frac{depan}{samping} = \frac{7}{24} \Rightarrow depan = 7 \Rightarrow samping = 24$

Sehingga dengan menggunakan teorema Pytahgoras:

$miring = = = = depan^{2} + samping^{2} 7^{2} + 2 4^{2} 62525$

Sehingga diperoleh:

$sin α cos α = = = = \frac{depan}{miring} \frac{7}{25} \frac{samping}{miring} \frac{24}{25}$

Untuk sudut $β$ :

$cotan β \frac{samping}{depan} = = \frac{5}{12} \frac{5}{12} \Rightarrow samping = 5 \Rightarrow depan = 12$

Sehingga dengan menggunakan teorema Pytahgoras:

$miring = = = = samping^{2} + depan^{2} 5^{2} + 1 2^{2} 16913$

Sehingga diperoleh:

$sin β cos β = = = = \frac{depan}{miring} \frac{12}{13} \frac{samping}{miring} \frac{5}{13}$

karena diketahui bahwa sudut $α$ dan $β$ adalah sudut-sudut lancip maka sudut $\frac{α}{2}$ juga sudut lancip dan berada pada kuadran I, sehingga:

$cos (α - \frac{1}{2} β) = = = = = = = = = = cos α cos \frac{1}{2} β + sin α sin \frac{1}{2} β cos α \frac{1 + c o s β}{2} + sin α \frac{1 - c o s β}{2} \frac{24}{25} \cdot \frac{1 + \frac{5}{13}}{2} + \frac{7}{25} \frac{1 - \frac{5}{13}}{2} \frac{24}{25} \cdot \frac{\frac{13 + 5}{13}}{2} + \frac{7}{25} \frac{\frac{13 - 5}{13}}{2} \frac{24}{25} \cdot \frac{\frac{18}{13}}{2} + \frac{7}{25} \frac{\frac{8}{13}}{2} \frac{24}{25} \cdot \frac{9}{13} + \frac{7}{25} \frac{4}{13} \frac{24}{25} \cdot \frac{3}{1} \frac{1}{13} + \frac{7}{25} \cdot \frac{2}{1} \frac{1}{13} (\frac{72}{25} + \frac{14}{25}) \frac{1}{13} \frac{86}{25} (\frac{1}{13} 13) \frac{86}{325} 13$