Pertanyaan

Titik Pdan Qmasing-masing mempunyai absis 2 p dan − 3 p terletak pada parabola y = x 2 − 1 . Jika garis g tegak lurus PQdan menyinggung parabola tersebut, maka garis memotong sumbu- Y di titik berordinat ....

Titik P dan Q masing-masing mempunyai absis $2 p$ dan $- 3 p$ terletak pada parabola $y = x^{2} - 1$ . Jika garis $g$ tegak lurus PQ dan menyinggung parabola tersebut, maka garis memotong sumbu- $Y$ di titik berordinat ....

S. Difhayanti

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Muhammadiyah Prof. Dr. Hamka

Jawaban terverifikasi

Jawaban

garis memotong sumbu- di titik berordinat .

garis

memotong sumbu-

di titik berordinat $begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank minus end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell fraction numerator 1 over denominator 4 p squared end fraction end cell end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank minus end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank 1 end table end style$ .

Pembahasan

Ingat kembali rumus diskriminan dari persamaan kuadrat. D = b − 4 a c Pertama, substitusikan absis titik Pke parabola.. Sehingga, diperoleh koordinat titik . Kemudian, substitusikan juga absis titik Qke parabola, Sehingga, diperoleh koordinat titik . Akibatnya gradien garis yang melalui PQadalah Karena garis tegak lurus PQ, maka berdasarkan hubungan gradien dua garis yang saling tegak lurus,diperoleh: Selanjutnya, misalkan persamaan garis adalah dengan merupakan titik potonggaris dengan sumbu- . Diketahui garis menyinggung parabola , maka: Selanjutnya, karena garis tersebut menyinggung parabola, maka nilai diskriminan (daripersamaan kuadrat hasil substitusi)sama dengan nol. Jadi,garis memotong sumbu- di titik berordinat .

Ingat kembali rumus diskriminan dari persamaan kuadrat.

$D = b - 4 a c$

Pertama, substitusikan absis titik P ke parabola..

Sehingga, diperoleh koordinat titik .

Kemudian, substitusikan juga absis titik Q ke parabola,

Sehingga, diperoleh koordinat titik .

Akibatnya gradien garis yang melalui PQ adalah

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell m subscript PQ end cell equals cell fraction numerator open parentheses 9 p squared minus 1 close parentheses minus open parentheses 4 p squared minus 1 close parentheses over denominator open parentheses negative 3 p close parentheses minus 2 p end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 5 p squared over denominator negative 5 p end fraction end cell row blank equals cell negative p end cell end table end style$

Karena garis tegak lurus PQ, maka berdasarkan hubungan gradien dua garis yang saling tegak lurus, diperoleh:

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell m subscript PQ times m subscript g end cell equals cell negative 1 end cell row cell open parentheses negative p close parentheses times m subscript g end cell equals cell negative 1 end cell row cell m subscript g end cell equals cell 1 over p end cell end table end style

Selanjutnya, misalkan persamaan garis adalah

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row y equals cell m subscript g x plus c end cell row y equals cell 1 over p x plus c end cell end table end style

dengan merupakan titik potong garis dengan sumbu-.

Diketahui garis menyinggung parabola , maka:

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row y equals y row cell x squared minus 1 end cell equals cell 1 over p x plus c end cell row cell x squared minus 1 over p x plus open parentheses negative 1 minus c close parentheses end cell equals 0 end table end style

Selanjutnya, karena garis tersebut menyinggung parabola, maka nilai diskriminan (dari persamaan kuadrat hasil substitusi) sama dengan nol.

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row D equals 0 row cell open parentheses negative 1 over p close parentheses squared minus 4 open parentheses 1 close parentheses open parentheses negative 1 minus c close parentheses end cell equals 0 row cell 1 over p squared plus 4 plus 4 c end cell equals 0 row cell 4 c end cell equals cell negative 1 over p squared minus 4 end cell row c equals cell fraction numerator negative 1 over p squared minus 4 over denominator 4 end fraction end cell row c equals cell negative fraction numerator 1 over denominator 4 p squared end fraction minus 1 end cell end table end style$

Jadi, garis memotong sumbu- di titik berordinat $begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank minus end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell fraction numerator 1 over denominator 4 p squared end fraction end cell end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank minus end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank 1 end table end style$ .