Pertanyaan

Tiga bilangan membentuk deret geometri yang jumlahnya 26 dan hasil kalinya 216 .Tentukan tiga bilangan tersebut!

Tiga bilangan membentuk deret geometri yang jumlahnya $26$ dan hasil kalinya $216$ . Tentukan tiga bilangan tersebut!

N. Puspita

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

ketiga bilangan itu adalah atau .

ketiga bilangan itu adalah

atau

space 18 comma space 6 space dan space 2

Pembahasan

Diketahui tiga bilangan membentuk deret geometri yang jumlahnya dan hasil kalinya . Misalkan ketiga bilangan tersebut adalah . Maka dan Substitusikan persamaan (2) ke persamaan (1) sehingga diperoleh Dengan menyempurnakan bentuk kuadrat, diperoleh sehingga rasio ketiga bilangan tersebut adalah atau Karena maka jelaslah bilangan kedua adalah . Selanjutnya kita pilih salah satu nilai saja, karena keduanya akan menghasilkan bilangan terkecil dan bilangan terbesar yang sama. Misalkan dipilih , maka dan berakibat Ketiga bilangan itu adalah . Untuk ,maka; dan berakibat Atau ketiga bilangan itu adalah . Jadi, ketiga bilangan itu adalah atau .

Diketahui tiga bilangan membentuk deret geometri yang jumlahnya dan hasil kalinya . Misalkan ketiga bilangan tersebut adalah . Maka

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell a plus a r plus a r squared end cell equals 26 row cell a open parentheses 1 plus r plus r squared close parentheses end cell equals 26 row a equals cell fraction numerator 26 over denominator 1 plus r plus r squared end fraction number space number space horizontal ellipsis open parentheses 1 close parentheses end cell end table end style$

dan

Substitusikan persamaan (2) ke persamaan (1) sehingga diperoleh

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 6 over r end cell equals cell fraction numerator 26 over denominator 1 plus r plus r squared end fraction end cell row cell 6 plus 6 r plus 6 r squared end cell equals cell 26 r end cell row cell 6 r squared minus 20 r end cell equals cell negative 6 number space number space number space number space number space open square brackets dibagi space 6 close square brackets end cell row cell r squared minus 10 over 3 r end cell equals cell negative 1 end cell end table end style$

Dengan menyempurnakan bentuk kuadrat, diperoleh

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell r squared minus 10 over 3 r plus open parentheses negative 5 over 3 close parentheses squared end cell equals cell negative 1 plus open parentheses negative 5 over 3 close parentheses squared end cell row cell open parentheses r minus 5 over 3 close parentheses squared end cell equals cell negative 1 plus 25 over 9 end cell row cell open parentheses r minus 5 over 3 close parentheses squared end cell equals cell fraction numerator negative 9 plus 25 over denominator 9 end fraction end cell row cell open parentheses r minus 5 over 3 close parentheses squared end cell equals cell 16 over 9 end cell row cell square root of open parentheses r minus 5 over 3 close parentheses squared end root end cell equals cell plus-or-minus square root of 16 over 9 end root end cell row cell r minus 5 over 3 end cell equals cell plus-or-minus 4 over 3 end cell row r equals cell 5 over 3 plus-or-minus 4 over 3 end cell end table end style$

sehingga rasio ketiga bilangan tersebut adalah

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row r equals cell 5 over 3 plus 4 over 3 end cell row blank equals cell 9 over 3 end cell row blank equals 3 end table end style

atau

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row r equals cell 5 over 3 minus 4 over 3 end cell row blank equals cell 1 third end cell end table end style

Karena maka jelaslah bilangan kedua adalah . Selanjutnya kita pilih salah satu nilai saja, karena keduanya akan menghasilkan bilangan terkecil dan bilangan terbesar yang sama. Misalkan dipilih , maka

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell a r end cell equals 6 row cell a times 3 end cell equals 6 row a equals 2 end table end style

dan berakibat

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell a r squared end cell equals cell 2 times open parentheses 3 close parentheses squared end cell row blank equals cell 2 times 9 end cell row blank equals 18 end table end style

Ketiga bilangan itu adalah .

Untuk r equals 1 third , maka;

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell a r end cell equals 6 row cell a times 1 third end cell equals 6 row a equals cell 6 cross times 3 end cell row a equals 18 end table

dan berakibat

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell a r squared end cell equals cell 18 times open parentheses 1 third close parentheses squared end cell row blank equals cell 18 times 1 over 9 end cell row blank equals 2 end table

Atau ketiga bilangan itu adalah space 18 comma space 6 space dan space 2 .

Jadi, ketiga bilangan itu adalah atau space 18 comma space 6 space dan space 2 .