Pertanyaan

Terdapat dua konstanta c sehingga kurva y = x 2 − 3 x − 10 x 2 + 3 x + c tepat memiliki satu asimtot tegak. Hasil penjumlahan kedua nilai c tersebut adalah ....

Terdapat dua konstanta c sehingga kurva $y = \frac{x ^{2} + 3 x + c}{x ^{2} - 3 x - 10}$ tepat memiliki satu asimtot tegak. Hasil penjumlahan kedua nilai c tersebut adalah ....

- 42
- 40
- 38
38
42

H. Nufus

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Surabaya

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Perhatikan bahwa Sehingga kemungkinan kurva y akan memiliki maksimum dua asimtot tegak yaitu x = 5 dan x = - 2 . Supaya kurva tersebut hanya memiliki tepat satu asimtot tegak, maka haruslah atau dengan bukanlah ∞ maupun - ∞ . Untuk dapat terpenuhi jika 5 adalah akar dari pembilangnya. Sehingga Jika dicek untuk c = -40 , didapat bahwa Sehingga x = - 2 adalah asimtot tegak dari untuk c = - 40 . Maka terpenuhi bahwa untuk c = - 40 , kurva tepat memiliki satu asimtot tegak. Dan untuk dapat terpenuhi jika - 2 adalah akar dari pembilangnya. Sehingga Jika dicek untuk c = 2 , didapat bahwa Sehingga x = 5 adalah asimtot tegak dari untuk c = 2 . Maka terpenuhi bahwa untuk c = 2 , kurva tepat memiliki satu asimtot tegak. Sehingga nilai-nilai c yang memenuhi adalah c = -40 dan c = 2 . Maka hasil penjumlahan kedua nilai c tersebut adalah - 40 + 2 = - 38 .

Perhatikan bahwa

$begin mathsize 14px style y equals fraction numerator x squared plus 3 x plus c over denominator x squared minus 3 x minus 10 end fraction y equals fraction numerator x squared plus 3 x plus c over denominator open parentheses x minus 5 close parentheses open parentheses x plus 2 close parentheses end fraction end style$

Sehingga kemungkinan kurva y akan memiliki maksimum dua asimtot tegak yaitu x = 5 dan x = - 2.

Supaya kurva tersebut hanya memiliki tepat satu asimtot tegak, maka haruslah

$begin mathsize 14px style limit as x rightwards arrow 5 of invisible function application fraction numerator x squared plus 3 x plus c over denominator open parentheses x minus 5 close parentheses open parentheses x plus 2 close parentheses end fraction equals k subscript 1 end style$ atau $begin mathsize 14px style limit as x rightwards arrow negative 2 of invisible function application fraction numerator x squared plus 3 x plus c over denominator open parentheses x minus 5 close parentheses open parentheses x plus 2 close parentheses end fraction equals k subscript 2 end style$ dengan bukanlah ∞ maupun - ∞.

Untuk $begin mathsize 14px style limit as x rightwards arrow 5 of invisible function application fraction numerator x squared plus 3 x plus c over denominator open parentheses x minus 5 close parentheses open parentheses x plus 2 close parentheses end fraction equals k subscript 1 end style$ dapat terpenuhi jika 5 adalah akar dari pembilangnya. Sehingga

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 5 squared plus 3 open parentheses 5 close parentheses plus c end cell equals 0 row cell 25 plus 15 plus c end cell equals 0 row cell 40 plus c end cell equals 0 row c equals cell negative 40 end cell end table end style

Jika dicek untuk c = -40, didapat bahwa

$begin mathsize 14px style limit as x rightwards arrow negative 2 to the power of plus of invisible function application fraction numerator x squared plus 3 x minus 40 over denominator open parentheses x minus 5 close parentheses open parentheses x plus 2 close parentheses end fraction equals limit as x rightwards arrow negative 2 to the power of plus of invisible function application fraction numerator open parentheses x minus 5 close parentheses open parentheses x plus 8 close parentheses over denominator open parentheses x minus 5 close parentheses open parentheses x plus 2 close parentheses end fraction equals limit as x rightwards arrow negative 2 to the power of plus of invisible function application fraction numerator x plus 8 over denominator x plus 2 end fraction equals limit as x rightwards arrow negative 2 to the power of plus of invisible function application open parentheses x plus 8 close parentheses times limit as x rightwards arrow negative 2 to the power of plus of invisible function application fraction numerator 1 over denominator x plus 2 end fraction equals open parentheses negative 2 plus 8 close parentheses times infinity equals infinity end style$

Sehingga x = - 2 adalah asimtot tegak dari $begin mathsize 14px style y equals fraction numerator x squared plus 3 x plus c over denominator x squared minus 3 x minus 10 end fraction end style$ untuk c = - 40.

Maka terpenuhi bahwa untuk c = - 40, kurva tepat memiliki satu asimtot tegak.

Dan untuk $begin mathsize 14px style limit as x rightwards arrow negative 2 of invisible function application fraction numerator x squared plus 3 x plus c over denominator open parentheses x minus 5 close parentheses open parentheses x plus 2 close parentheses end fraction equals k subscript 2 end style$ dapat terpenuhi jika - 2 adalah akar dari pembilangnya. Sehingga

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell open parentheses negative 2 close parentheses squared plus 3 open parentheses negative 2 close parentheses plus c end cell equals 0 row cell 4 minus 6 plus c end cell equals 0 row cell negative 2 plus c end cell equals 0 row c equals 2 end table end style

Jika dicek untuk c = 2, didapat bahwa

$begin mathsize 14px style limit as x rightwards arrow 5 to the power of plus of invisible function application fraction numerator x squared plus 3 x plus 2 over denominator open parentheses x minus 5 close parentheses open parentheses x plus 2 close parentheses end fraction equals limit as x rightwards arrow 5 to the power of plus of invisible function application fraction numerator open parentheses x plus 1 close parentheses open parentheses x plus 2 close parentheses over denominator open parentheses x minus 5 close parentheses open parentheses x plus 2 close parentheses end fraction equals limit as x rightwards arrow 5 to the power of plus of invisible function application fraction numerator x plus 1 over denominator x minus 5 end fraction equals limit as x rightwards arrow 5 to the power of plus of invisible function application open parentheses x plus 1 close parentheses times limit as x rightwards arrow 5 to the power of plus of invisible function application fraction numerator 1 over denominator x minus 5 end fraction equals open parentheses 5 plus 1 close parentheses times infinity equals infinity end style$

Sehingga x = 5 adalah asimtot tegak dari $begin mathsize 14px style y equals fraction numerator x squared plus 3 x plus c over denominator x squared minus 3 x minus 10 end fraction end style$ untuk c = 2.

Maka terpenuhi bahwa untuk c = 2, kurva tepat memiliki satu asimtot tegak.

Sehingga nilai-nilai c yang memenuhi adalah c = -40 dan c = 2.

Maka hasil penjumlahan kedua nilai c tersebut adalah - 40 + 2 = - 38.