Pertanyaan

Tentukanlah titi-titik stasioner dalam interval [ 0 , 2 π ] dari fungsi trigonometri : y = f ( x ) = 3 sin 2 x + cos 2 x

Tentukanlah titi-titik stasioner dalam interval $[0, 2 π]$ dari fungsi trigonometri :

$y = f (x) = 3 sin 2 x + cos 2 x$

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

A. Hadiannur

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Gadjah Mada

Jawaban terverifikasi

Jawaban

titik-titik stasioner f adalah ( 6 π , 2 ) , ( 3 2 π , − 2 ) , ( 6 7 π , 2 ) , ( 3 5 π , − 2 ) .

titik-titik stasioner

f

adalah

(\frac{π}{6}, 2), (\frac{2 π}{3}, - 2), (\frac{7 π}{6}, 2), (\frac{5 π}{3}, - 2)

Pembahasan

Ingat konsep berikut : Jika f ′ ( a ) = 0 , maka titik ( a , f ( a ) ) adalah titik stasioner fungsi f Aturan rantai, jika f ′ ( g ( a ′ ) ) dan g ′ ( a ) adamaka : f ( g ( a ) ) ′ = f ′ ( g ( a ) ) ⋅ g ′ ( a ) Solusi persamaan tangen, jika tan x = tan α , maka x = α + π k , k bilangan bulat Dari soal diketahui : y = f ( x ) = 3 sin 2 x + cos 2 x Berdasarkan aturan rantai diperoleh ; y = f ′ ( x ) = ( 3 cos 2 x ) ⋅ 2 − ( sin 2 x ) ⋅ 2 Karena dicari titik stasioner f maka : f ′ ( x ) 2 ( 3 cos 2 x − sin 2 x ) 3 cos 2 x c o s 2 x s i n 2 x tan 2 x 2 x = = = = = = 0 0 sin 2 x 3 3 tan − 1 ( 3 ) = 3 π Berdasarkan solusi persamaan tangen diatas maka : 2 x x Jika k x Jika k x Jika k x Jika k x = = = = = = = = = = = = = = 3 π + π k ( dibagi dua ) 6 π + 2 π k 0 : 6 π + 2 π ⋅ 0 = 6 π , y = f ( 6 π ) = 3 sin 3 π + cos 3 π ( 3 × 2 1 3 ) + 2 1 = 2 1 : 6 π + 2 π ⋅ 1 = 6 π + 2 π = 6 π + 3 π = 6 4 π = 3 2 π , y = f ( 3 2 π ) 3 sin 3 4 π + cos 3 4 π = ( 3 × − 2 1 3 ) − 2 1 = − 2 2 : 6 π + 2 π ⋅ 2 = 6 π + π = 6 π + 6 π = 6 7 π , y = f ( 6 7 π ) 3 sin 3 7 π + cos 3 7 π = ( 3 × 2 1 3 ) + 2 1 = 2 3 : 6 π + 2 π ⋅ 3 = 6 π + 2 3 π = 6 π + 9 π = 6 10 π = 3 5 π , y = f ( 3 5 π ) 3 sin 3 10 π + cos 3 10 π = ( 3 × − 2 1 3 ) − 2 1 = − 2 Dengan demikian, titik-titik stasioner f adalah ( 6 π , 2 ) , ( 3 2 π , − 2 ) , ( 6 7 π , 2 ) , ( 3 5 π , − 2 ) .

Ingat konsep berikut :

Jika $f^{'} (a) = 0$ , maka titik $(a, f (a))$ adalah titik stasioner fungsi $f$
Aturan rantai, jika $f^{'} (g (a^{'})) dan g^{'} (a)$ ada maka :

$f (g (a))^{'} = f^{'} (g (a)) \cdot g^{'} (a)$

Solusi persamaan tangen, jika $tan x = tan α, maka x = α + π k, k bilangan bulat$

Dari soal diketahui :

$y = f (x) = 3 sin 2 x + cos 2 x$

Berdasarkan aturan rantai diperoleh ;

$y = f^{'} (x) = (3 cos 2 x) \cdot 2 - (sin 2 x) \cdot 2$

Karena dicari titik stasioner $f$ maka :

$f^{'} (x) 2 (3 cos 2 x - sin 2 x) 3 cos 2 x \frac{s i n 2 x}{c o s 2 x} tan 2 x 2 x = = = = = = 00 sin 2 x 33 tan^{- 1} (3) = \frac{π}{3}$

Berdasarkan solusi persamaan tangen diatas maka :

$2 x x Jika k x Jika k x Jika k x Jika k x = = = = = = = = = = = = = = \frac{π}{3} + π k (dibagi dua) \frac{π}{6} + \frac{π}{2} k 0 : \frac{π}{6} + \frac{π}{2} \cdot 0 = \frac{π}{6}, y = f (\frac{π}{6}) = 3 sin \frac{π}{3} + cos \frac{π}{3} (3 \times \frac{1}{2} 3) + \frac{1}{2} = 2 1 : \frac{π}{6} + \frac{π}{2} \cdot 1 = \frac{π}{6} + \frac{π}{2} = \frac{π + 3 π}{6} = \frac{4}{6} π = \frac{2}{3} π, y = f (\frac{2 π}{3}) 3 sin \frac{4 π}{3} + cos \frac{4 π}{3} = (3 \times - \frac{1}{2} 3) - \frac{1}{2} = - 2 2 : \frac{π}{6} + \frac{π}{2} \cdot 2 = \frac{π}{6} + π = \frac{π + 6 π}{6} = \frac{7}{6} π, y = f (\frac{7 π}{6}) 3 sin \frac{7 π}{3} + cos \frac{7 π}{3} = (3 \times \frac{1}{2} 3) + \frac{1}{2} = 2 3 : \frac{π}{6} + \frac{π}{2} \cdot 3 = \frac{π}{6} + \frac{3 π}{2} = \frac{π + 9 π}{6} = \frac{10}{6} π = \frac{5}{3} π, y = f (\frac{5 π}{3}) 3 sin \frac{10 π}{3} + cos \frac{10 π}{3} = (3 \times - \frac{1}{2} 3) - \frac{1}{2} = - 2$