Pertanyaan

Diketahui fungsi f ( x ) = cos 2 ( x − 3 π ) , 0 ≤ x ≤ 2 π . Tentukan titik stasioner fungsi f dan jenisnya.

Diketahui fungsi $f (x) = cos^{2} (x - \frac{π}{3}), 0 \leq x \leq 2 π .$ Tentukan titik stasioner fungsi $f$ dan jenisnya.

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

E. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret

Jawaban terverifikasi

Jawaban

dapat disimpulkan titik stasioner maksimumnya adalah ( 6 7 π , 4 3 ) dan titik stasioner minimumnya adalah ( 6 π , 0 ) .

dapat disimpulkan titik stasioner maksimumnya adalah

(\frac{7 π}{6}, \frac{3}{4})

dan titik stasioner minimumnya adalah

(\frac{π}{6}, 0)

Pembahasan

Titik stasioner fungsi f dicapai pada saat nilai f ′ ( x ) = 0 . Pertama kita cari dulu f ′ ( x ) nya menggunakan aturan rantai yaitu: f ′ ( x ) = d b d a ⋅ d x d b Pada soal diberikan f ( x ) = cos 2 ( x − 3 π ) , maka kita misalkan terlebih dahulu menjadi: a = b 2 b = cos ( x − 3 π ) Pertama kita cari turunan dari dengan cara a d b d a = = b 2 2 b lalu cari turunan dari b yaitu b d x d b = = cos ( x − 3 π ) − sin ( x − 3 π ) Setelah turunan nya diperoleh, kita cari f ′ ( x ) dengan f ′ ( x ) = = = = = = d b d a ⋅ d x d b 2 b ⋅ − sin ( x − 3 π ) 2 cos ( x − 3 π ) ⋅ − sin ( x − 3 π ) − 2 sin ( x − 3 π ) cos ( x − 3 π ) − sin 2 ( x − 3 π ) − sin ( 2 x − 3 2 π ) titik stasioner diperoleh saat : f ′ ( x ) − sin ( 2 x − 3 2 π ) sin ( 2 x − 3 2 π ) = = = 0 0 sin 0 Cari nilai x menggunakan persamaan trigonometri yaitu : x 1 2 x − 3 π 2 x x = = = = α + k ⋅ 2 π atau x 2 = π − α + k ⋅ 2 π 0 + k ⋅ 2 π 2 x − 3 π = π − 0 + k ⋅ 2 π 3 π + k ⋅ 2 π 2 x = 3 4 π + k ⋅ 2 π selanjutnya bagi 2 6 π + k ⋅ π x = 3 2 π + k ⋅ π setelah itu, substitusikan k nya dengan bilangan bulat sehingga memenuhi 0 ≤ x ≤ 2 π yaitu: x = 6 π + k ⋅ π k = 0 → x = 6 π + 0 ⋅ π = 6 π + 0 = 6 π k = 1 → x = 6 π + 1 ⋅ π = 6 π + π = 6 7 π x = 3 2 π + k ⋅ π k = 0 → x = 3 2 π + 0 ⋅ π = 3 2 π + 0 = 3 2 π k = 1 → x = 3 2 π + 1 ⋅ π = 3 2 π + π = 3 5 π Selanjutnya kita substitusikan nilai x di atas pada f ( x ) untuk menentukan jenis stasionernya seperti di bawah ini: f ( x ) f ( 6 π ) f ( 3 2 π ) f ( 6 7 π ) f ( 6 5 π ) = = = = = cos 2 ( x − 3 π ) cos 2 ( 6 π − 3 π ) = cos 2 ( − 2 π ) = 0 2 = 0 cos 2 ( 3 2 π − 3 π ) = cos 2 ( 3 π ) = ( 2 1 ) 2 = 4 1 cos 2 ( 6 7 π − 3 π ) = cos 2 ( 6 5 π ) = ( − 2 1 3 ) 2 = 4 3 cos 2 ( 3 5 π − 3 π ) = cos 2 ( 3 4 π ) = ( 2 1 ) 2 = 4 1 Dengan demikian, dapat disimpulkan titik stasioner maksimumnya adalah ( 6 7 π , 4 3 ) dan titik stasioner minimumnya adalah ( 6 π , 0 ) .

Titik stasioner fungsi $f$ dicapai pada saat nilai $f^{'} (x) = 0$ .

Pertama kita cari dulu $f^{'} (x)$ nya menggunakan aturan rantai yaitu:

$f^{'} (x) = \frac{d a}{d b} \cdot \frac{d b}{d x}$

Pada soal diberikan $f (x) = cos^{2} (x - \frac{π}{3})$ , maka kita misalkan terlebih dahulu menjadi:

$a = b^{2} b = cos (x - \frac{π}{3})$

Pertama kita cari turunan dari $a$ dengan cara

$a \frac{d a}{d b} = = b^{2} 2 b$

lalu cari turunan dari $b$ yaitu

$b \frac{d b}{d x} = = cos (x - \frac{π}{3}) - sin (x - \frac{π}{3})$

Setelah turunan nya diperoleh, kita cari $f^{'} (x)$ dengan

$f^{'} (x) = = = = = = \frac{d a}{d b} \cdot \frac{d b}{d x} 2 b \cdot - sin (x - \frac{π}{3}) 2 cos (x - \frac{π}{3}) \cdot - sin (x - \frac{π}{3}) - 2 sin (x - \frac{π}{3}) cos (x - \frac{π}{3}) - sin 2 (x - \frac{π}{3}) - sin (2 x - \frac{2 π}{3})$

titik stasioner diperoleh saat :

$f^{'} (x) - sin (2 x - \frac{2 π}{3}) sin (2 x - \frac{2 π}{3}) = = = 00 sin 0$

Cari nilai x menggunakan persamaan trigonometri yaitu :

$x_{1} 2 x - \frac{π}{3} 2 x x = = = = α + k \cdot 2 π atau x_{2} = π - α + k \cdot 2 π 0 + k \cdot 2 π 2 x - \frac{π}{3} = π - 0 + k \cdot 2 π \frac{π}{3} + k \cdot 2 π 2 x = \frac{4 π}{3} + k \cdot 2 π selanjutnya bagi 2 \frac{π}{6} + k \cdot π x = \frac{2 π}{3} + k \cdot π$

setelah itu, substitusikan k nya dengan bilangan bulat sehingga memenuhi $0 \leq x \leq 2 π$ yaitu:

$x = \frac{π}{6} + k \cdot π k = 0 \to x = \frac{π}{6} + 0 \cdot π = \frac{π}{6} + 0 = \frac{π}{6} k = 1 \to x = \frac{π}{6} + 1 \cdot π = \frac{π}{6} + π = \frac{7 π}{6} x = \frac{2 π}{3} + k \cdot π k = 0 \to x = \frac{2 π}{3} + 0 \cdot π = \frac{2 π}{3} + 0 = \frac{2 π}{3} k = 1 \to x = \frac{2 π}{3} + 1 \cdot π = \frac{2 π}{3} + π = \frac{5 π}{3}$

Selanjutnya kita substitusikan nilai $x$ di atas pada $f (x)$ untuk menentukan jenis stasionernya seperti di bawah ini:

$f (x) f (\frac{π}{6}) f (\frac{2 π}{3}) f (\frac{7 π}{6}) f (\frac{5 π}{6}) = = = = = cos^{2} (x - \frac{π}{3}) cos^{2} (\frac{π}{6} - \frac{π}{3}) = cos^{2} (- \frac{π}{2}) = 0^{2} = 0 cos^{2} (\frac{2 π}{3} - \frac{π}{3}) = cos^{2} (\frac{π}{3}) = (\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4} cos^{2} (\frac{7 π}{6} - \frac{π}{3}) = cos^{2} (\frac{5 π}{6}) = (- \frac{1}{2} 3)^{2} = \frac{3}{4} cos^{2} (\frac{5 π}{3} - \frac{π}{3}) = cos^{2} (\frac{4 π}{3}) = (\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}$

Dengan demikian, dapat disimpulkan titik stasioner maksimumnya adalah $(\frac{7 π}{6}, \frac{3}{4})$ dan titik stasioner minimumnya adalah $(\frac{π}{6}, 0)$ .

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

4.0 (4 rating)

Nazwa

π nya harus di ganti sama 180 kak gimana nih

Pertanyaan serupa

Salah satu nilai stasioner dari fungsi f ( x ) = 2 + cos 2 x adalah...

5.0

Jawaban terverifikasi

Salah satu nilai stasioner dari fungsi f ( x ) = 2 + cos 2 x adalah...

5.0

Jawaban terverifikasi

Agar f ( x ) = sin + 4 m u ( 2 x + b ) mempunyai nilai stasioner pada x = 3 6 ∘ maka nilai b harus sama dengan...

4.9

Jawaban terverifikasi

Sebuah bandul bergerak bebas dari kiri ke kanan. Panjang bandul sama dengan 2 meter. Jika bandul bergerak sejauh θ , dan k adalah jarak yang ditempuh bandul dari posisi awal, tentukan persamaan dalam ...

5.0

Jawaban terverifikasi

Pada interval 0 ∘ ≤ x ≤ 18 0 ∘ , nilai stasioner dari fungsi f ( x ) = cos 2 x diperoleh pada ...

4.9

Jawaban terverifikasi