Pertanyaan

Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan berikut, untuk 0 ∘ ≤ x ≤ 36 0 ∘ : 4 sin θ ∘ − 3 cos θ ∘ = 2

Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan berikut, untuk $0^{\circ} \leq x \leq 36 0^{\circ}$ :

$4 sin θ^{\circ} - 3 cos θ^{\circ} = 2$

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

S. Nur

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

himpunan penyelesaiannya adalah { 60 , 4 5 ∘ , 193 , 2 9 ∘ } .

himpunan penyelesaiannya adalah

{60, 4 5^{\circ}, 193, 2 9^{\circ}}

Pembahasan

Ingat : R cos ( x − α ) = a cos x + b sin x , dengan R = a 2 + b 2 dan α = tan − 1 ( a b ) Penyelesaian persamaan a cos x ∘ + b sin x ∘ = c , ∣ c ∣ ≤ R : x = α ± cos − 1 ( R c ) + k ⋅ 36 0 ∘ , k ∈ bilangan bulat Diketahui dari soal : 4 sin θ ∘ − 3 cos θ ∘ = 2 Karena ( 4 , − 3 ) di kuadran kedua maka α juga di kuadran kedua. Perhatikan gambar : dimana α = π − θ θ α = = tan − 1 ( a b ) = tan − 1 ( 3 4 ) = 53 , 1 3 ∘ π − θ = 18 0 ∘ − 53 , 1 3 ∘ = 126 , 8 7 ∘ Berdasarkan konsep di atas maka diperoleh : R cos ( x − α ) − 3 cos θ ∘ + 4 sin θ ∘ R R = = = = a cos x + b sin x R cos ( x − 126 , 87 ) ∘ = 2 a 2 + b 2 ( − 3 ) 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25 = 5 Sehingga diperoleh persamaan 5 cos ( x − 126 , 87 ∘ ) = 2 . Diperoleh penyelesaian sebagai berikut : 5 cos ( x + 126 , 8 7 ∘ ) cos ( x + 126 , 8 7 ∘ ) x + 126 , 8 7 ∘ cos − 1 ( 5 2 ) x x 1 x 2 untuk k x 1 untuk k x 2 = = = = = = = = = = = 2 5 2 cos − 1 ( 5 2 ) 66 , 4 2 ∘ α ± cos − 1 ( R c ) + k ⋅ 36 0 ∘ α + cos − 1 ( R c ) + k ⋅ 36 0 ∘ α − cos − 1 ( R c ) + k ⋅ 36 0 ∘ 0 : 126 , 8 7 ∘ + 66 , 4 2 ∘ = 193 , 2 9 ∘ 1 : 126 , 8 7 ∘ − 66 , 4 2 ∘ + 36 0 ∘ = 60 , 4 5 ∘ Dengan demikian, himpunan penyelesaiannya adalah { 60 , 4 5 ∘ , 193 , 2 9 ∘ } .

Ingat :

$R cos (x - α) = a cos x + b sin x, dengan R = a^{2} + b^{2} dan α = tan^{- 1} (\frac{b}{a})$
Penyelesaian persamaan $a cos x^{\circ} + b sin x^{\circ} = c, ∣ c ∣ \leq R$ :

$x = α \pm cos^{- 1} (\frac{c}{R}) + k \cdot 36 0^{\circ}, k \in bilangan bulat$

Diketahui dari soal :

$4 sin θ^{\circ} - 3 cos θ^{\circ} = 2$

Karena $(4, - 3)$ di kuadran kedua maka $α$ juga di kuadran kedua. Perhatikan gambar :

dimana $α = π - θ$

$θ α = = tan^{- 1} (\frac{b}{a}) = tan^{- 1} (\frac{4}{3}) = 53, 1 3^{\circ} π - θ = 18 0^{\circ} - 53, 1 3^{\circ} = 126, 8 7^{\circ}$

Berdasarkan konsep di atas maka diperoleh :

$R cos (x - α) - 3 cos θ^{\circ} + 4 sin θ^{\circ} R R = = = = a cos x + b sin x R cos (x - 126, 87)^{\circ} = 2 a^{2} + b^{2} (- 3)^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = 5$

Sehingga diperoleh persamaan $5 cos (x - 126, 87^{\circ}) = 2$ . Diperoleh penyelesaian sebagai berikut :

$5 cos (x + 126, 8 7^{\circ}) cos (x + 126, 8 7^{\circ}) x + 126, 8 7^{\circ} cos^{- 1} (\frac{2}{5}) x x_{1} x_{2} untuk k x_{1} untuk k x_{2} = = = = = = = = = = = 2 \frac{2}{5} cos^{- 1} (\frac{2}{5}) 66, 4 2^{\circ} α \pm cos^{- 1} (\frac{c}{R}) + k \cdot 36 0^{\circ} α + cos^{- 1} (\frac{c}{R}) + k \cdot 36 0^{\circ} α - cos^{- 1} (\frac{c}{R}) + k \cdot 36 0^{\circ} 0 : 126, 8 7^{\circ} + 66, 4 2^{\circ} = 193, 2 9^{\circ} 1 : 126, 8 7^{\circ} - 66, 4 2^{\circ} + 36 0^{\circ} = 60, 4 5^{\circ}$