Pertanyaan

Tentukan nilai-nilai x dalam interval 0 ≤ x ≤ 2 π yang memenuhi persamaan di bawah ini : 4 cos x − 2 sin x + 17 = 0

Tentukan nilai-nilai $x$ dalam interval $0 \leq x \leq 2 π$ yang memenuhi persamaan di bawah ini :

$4 cos x - 2 sin x + 17 = 0$

S. Nur

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

nilai x yang memenuhi persamaan adalah { 0 , 74 π , 0 , 98 π } .

nilai

x

yang memenuhi persamaan adalah

{0, 74 π, 0, 98 π}

Pembahasan

Ingat : R cos ( x − α ) R = = a cos x + b sin x , dengan a 2 + b 2 dan α = tan − 1 ( a b ) Penyelesaian persamaan a cos x ∘ + b sin x ∘ = c , ∣ c ∣ ≤ R : x = α ± cos ( R c ) + k ⋅ 36 0 ∘ , k ∈ 36 0 ∘ Diketahui dari soal : 4 cos x − 2 sin x + 17 4 cos x − 2 sin x − 4 cos x + 2 sin x = = = 0 − 17 17 Berdasarkan konsep di atas maka diperoleh : R cos ( x − α ) − 4 cos x + 2 sin x R R = = = = a cos x + b sin x R cos ( x − α ) = 17 a 2 + b 2 a 2 + b 2 = ( − 4 ) 2 + 2 2 = 16 + 4 = 2 5 Karena ( − 4 , 2 ) berada di kuadran duamaka α juga di kuadran dua dengan tan α = − 4 2 = − 2 1 . Perhatikan : dimana α = π − θ Karena α = π − θ maka : θ = tan − 1 ( 2 1 ) = 26 , 5 6 ∘ = 0 , 14 π α = π − θ = 0 , 86 π Sehingga diperoleh persamaan 2 5 cos ( x − 0 , 86 π ) = 17 . Maka diperoleh : 2 5 cos ( x − 0 , 86 π ) cos ( x − 0 , 86 π ) x − 0 , 86 π x cos − 1 ( 2 5 17 ) x 1 x 2 untuk k x 1 x 2 = = = = = = = = = = 17 2 5 17 cos − 1 ( 2 5 17 ) α ± cos ( R c ) + k ⋅ 2 π 0 , 12 π α + cos ( R c ) + k ⋅ 2 π α − cos ( R c ) + k ⋅ 2 π 0 : 0 , 86 π + 0 , 12 π = 0 , 98 π 0 , 86 π − 0 , 12 π = 0 , 74 π Dengan demikian, nilai x yang memenuhi persamaan adalah { 0 , 74 π , 0 , 98 π } .

Ingat :

$R cos (x - α) R = = a cos x + b sin x, dengan a^{2} + b^{2} dan α = tan^{- 1} (\frac{b}{a})$
Penyelesaian persamaan $a cos x^{\circ} + b sin x^{\circ} = c, ∣ c ∣ \leq R$ :

$x = α \pm cos (\frac{c}{R}) + k \cdot 36 0^{\circ}, k \in 36 0^{\circ}$

Diketahui dari soal :

$4 cos x - 2 sin x + 17 4 cos x - 2 sin x - 4 cos x + 2 sin x = = = 0 - 17 17$

Berdasarkan konsep di atas maka diperoleh :

$R cos (x - α) - 4 cos x + 2 sin x R R = = = = a cos x + b sin x R cos (x - α) = 17 a^{2} + b^{2} a^{2} + b^{2} = (- 4)^{2} + 2^{2} = 16 + 4 = 25$

Karena $(- 4, 2)$ berada di kuadran dua maka $α$ juga di kuadran dua dengan $tan α = - \frac{2}{4} = - \frac{1}{2}$ . Perhatikan :

dimana $α = π - θ$

Karena $α = π - θ$ maka :

$θ = tan^{- 1} (\frac{1}{2}) = 26, 5 6^{\circ} = 0, 14 π α = π - θ = 0, 86 π$

Sehingga diperoleh persamaan $25 cos (x - 0, 86 π) = 17$ . Maka diperoleh :

$25 cos (x - 0, 86 π) cos (x - 0, 86 π) x - 0, 86 π x cos^{- 1} (\frac{17}{2 5}) x_{1} x_{2} untuk k x_{1} x_{2} = = = = = = = = = = 17 \frac{17}{2 5} cos^{- 1} (\frac{17}{2 5}) α \pm cos (\frac{c}{R}) + k \cdot 2 π 0, 12 π α + cos (\frac{c}{R}) + k \cdot 2 π α - cos (\frac{c}{R}) + k \cdot 2 π 0 : 0, 86 π + 0, 12 π = 0, 98 π 0, 86 π - 0, 12 π = 0, 74 π$