Pertanyaan

Tentukan nilai-nilai x dalam interval 0 ≤ x ≤ 2 π yang memenuhi persamaan di bawah ini : 3 cos x − 2 sin x + 13 = 0

Tentukan nilai-nilai $x$ dalam interval $0 \leq x \leq 2 π$ yang memenuhi persamaan di bawah ini :

$3 cos x - 2 sin x + 13 = 0$

S. Nur

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

nilai x yang memenuhi persamaan adalah 0 , 82 π .

nilai

x

yang memenuhi persamaan adalah

0, 82 π

Pembahasan

Ingat : R cos ( x − α ) R = = a cos x + b sin x , dengan a 2 + b 2 dan α = tan − 1 ( a b ) Penyelesaian persamaan a cos x ∘ + b sin x ∘ = c , ∣ c ∣ ≤ R : x = α ± cos ( R c ) + k ⋅ 36 0 ∘ , k ∈ 36 0 ∘ Diketahui dari soal : 3 cos x − 2 sin x + 13 3 cos x − 2 sin x − 3 cos x + 2 sin x = = = 0 − 13 13 Berdasarkan konsep di atas maka diperoleh : R cos ( x − α ) − 3 cos x + 2 sin x R R = = = = a cos x + b sin x R cos ( x − α ) = 13 a 2 + b 2 a 2 + b 2 = ( − 3 ) 2 + 2 2 = 9 + 4 = 13 Karena ( − 3 , 2 ) berada di kuadran dua maka α juga di kuadran dua dengan tan α = − 3 2 . Perhatikan : dimana α = π − θ Karena α = π − θ maka : θ = tan − 1 ( 3 2 ) = 33 , 6 9 ∘ = 0 , 18 π α = π − θ = 0 , 82 π Sehingga diperoleh persamaan 13 cos ( x − 0 , 82 π ) = 13 . Maka diperoleh : 13 cos ( x − 0 , 82 π ) cos ( x − 0 , 82 π ) ( x − 0 , 82 π ) x c cos − 1 1 x 1 x 2 untuk k x 1 x 2 = = = = = = = = = = 13 13 13 = 1 cos − 1 1 α ± cos ( R c ) + k ⋅ 2 π 0 α + cos ( R c ) + k ⋅ 2 π α − cos ( R c ) + k ⋅ 2 π 0 : 0 , 82 π + 0 = 0 , 82 π 0 , 82 π − 0 = 0 , 82 π Dengan demikian, nilai x yang memenuhi persamaan adalah 0 , 82 π .

Ingat :

$R cos (x - α) R = = a cos x + b sin x, dengan a^{2} + b^{2} dan α = tan^{- 1} (\frac{b}{a})$
Penyelesaian persamaan $a cos x^{\circ} + b sin x^{\circ} = c, ∣ c ∣ \leq R$ :

$x = α \pm cos (\frac{c}{R}) + k \cdot 36 0^{\circ}, k \in 36 0^{\circ}$

Diketahui dari soal :

$3 cos x - 2 sin x + 13 3 cos x - 2 sin x - 3 cos x + 2 sin x = = = 0 - 13 13$

Berdasarkan konsep di atas maka diperoleh :

$R cos (x - α) - 3 cos x + 2 sin x R R = = = = a cos x + b sin x R cos (x - α) = 13 a^{2} + b^{2} a^{2} + b^{2} = (- 3)^{2} + 2^{2} = 9 + 4 = 13$

Karena $(- 3, 2)$ berada di kuadran dua maka $α$ juga di kuadran dua dengan $tan α = - \frac{2}{3}$ . Perhatikan :

dimana $α = π - θ$

Karena $α = π - θ$ maka :

$θ = tan^{- 1} (\frac{2}{3}) = 33, 6 9^{\circ} = 0, 18 π α = π - θ = 0, 82 π$

Sehingga diperoleh persamaan $13 cos (x - 0, 82 π) = 13$ . Maka diperoleh :

$13 cos (x - 0, 82 π) cos (x - 0, 82 π) (x - 0, 82 π) x c cos^{- 1} 1 x_{1} x_{2} untuk k x_{1} x_{2} = = = = = = = = = = 13 \frac{13}{13} = 1 cos^{- 1} 1 α \pm cos (\frac{c}{R}) + k \cdot 2 π 0 α + cos (\frac{c}{R}) + k \cdot 2 π α - cos (\frac{c}{R}) + k \cdot 2 π 0 : 0, 82 π + 0 = 0, 82 π 0, 82 π - 0 = 0, 82 π$