Pertanyaan

Tentukan nilai-nilai x dalam interval 0 ∘ < x < 36 0 ∘ yang memenuhi persamaan di bawah ini : 2 sin x ∘ − cos x ∘ = 5

Tentukan nilai-nilai $x$ dalam interval $0^{\circ} < x < 36 0^{\circ}$ yang memenuhi persamaan di bawah ini :

$2 sin x^{\circ} - cos x^{\circ} = 5$

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

S. Nur

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

nilai x yang memenuhi persamaan adalah 116 , 5 7 ∘ .

nilai

x

yang memenuhi persamaan adalah

116, 5 7^{\circ}

Pembahasan

Ingat : R cos ( x − α ) = a cos x + b sin x , dengan R = a 2 + b 2 dan α = tan − 1 ( a b ) Penyelesaian persamaan a cos x ∘ + b sin x ∘ = c , ∣ c ∣ ≤ R : x = α ± cos ( R c ) + k ⋅ 36 0 ∘ , k ∈ 36 0 ∘ Diketahui dari soal : 2 sin x ∘ − cos x ∘ = 5 Berdasarkan konsep di atas maka diperoleh : R cos ( x − α ) 2 sin x ∘ − cos x ∘ R R = = = = a cos x + b sin x R cos ( x − α ) ∘ = 5 a 2 + b 2 ( − 1 ) 2 + ( 2 ) 2 = 1 + 4 = 5 Karena ( − 1 , 2 ) berada di kuadran kedua maka α juga di kuadran dua dengan tan α = − 1 2 = − 2 . Perhatikan : dimana α = 18 0 ∘ − θ Karena α = 18 0 ∘ − θ maka : θ = tan − 1 2 = 63 , 4 3 ∘ α = 18 0 ∘ − θ = 116 , 5 7 ∘ Sehingga diperoleh persamaan 5 cos ( x − 116 , 57 ) ∘ = 5 . Maka diperoleh : 5 cos ( x − 116 , 57 ) ∘ cos ( x − 116 , 57 ) ∘ ( x − 116 , 57 ) ∘ x cos − 1 1 x 1 x 2 untuk k x 1 x 2 = = = = = = = = = = 5 5 5 = 1 cos − 1 1 α ± cos ( R c ) + k ⋅ 36 0 ∘ 0 ∘ α + cos ( R c ) + k ⋅ 36 0 ∘ α − cos ( R c ) + k ⋅ 36 0 ∘ 0 : 116 , 5 7 ∘ + 0 ∘ + 0 ∘ = 116 , 5 7 ∘ 116 , 5 7 ∘ − 0 ∘ + 0 ∘ = 116 , 5 7 ∘ Dengan demikian, nilai x yang memenuhi persamaan adalah 116 , 5 7 ∘ .

Ingat :

$R cos (x - α) = a cos x + b sin x, dengan R = a^{2} + b^{2} dan α = tan^{- 1} (\frac{b}{a})$
Penyelesaian persamaan $a cos x^{\circ} + b sin x^{\circ} = c, ∣ c ∣ \leq R$ :

$x = α \pm cos (\frac{c}{R}) + k \cdot 36 0^{\circ}, k \in 36 0^{\circ}$

Diketahui dari soal :

$2 sin x^{\circ} - cos x^{\circ} = 5$

Berdasarkan konsep di atas maka diperoleh :

$R cos (x - α) 2 sin x^{\circ} - cos x^{\circ} R R = = = = a cos x + b sin x R cos (x - α)^{\circ} = 5 a^{2} + b^{2} (- 1)^{2} + (2)^{2} = 1 + 4 = 5$

Karena $(- 1, 2)$ berada di kuadran kedua maka $α$ juga di kuadran dua dengan $tan α = - \frac{2}{1} = - 2$ . Perhatikan :

dimana $α = 18 0^{\circ} - θ$

Karena $α = 18 0^{\circ} - θ$ maka :

$θ = tan^{- 1} 2 = 63, 4 3^{\circ} α = 18 0^{\circ} - θ = 116, 5 7^{\circ}$

Sehingga diperoleh persamaan $5 cos (x - 116, 57)^{\circ} = 5$ . Maka diperoleh :

$5 cos (x - 116, 57)^{\circ} cos (x - 116, 57)^{\circ} (x - 116, 57)^{\circ} x cos^{- 1} 1 x_{1} x_{2} untuk k x_{1} x_{2} = = = = = = = = = = 5 \frac{5}{5} = 1 cos^{- 1} 1 α \pm cos (\frac{c}{R}) + k \cdot 36 0^{\circ} 0^{\circ} α + cos (\frac{c}{R}) + k \cdot 36 0^{\circ} α - cos (\frac{c}{R}) + k \cdot 36 0^{\circ} 0 : 116, 5 7^{\circ} + 0^{\circ} + 0^{\circ} = 116, 5 7^{\circ} 116, 5 7^{\circ} - 0^{\circ} + 0^{\circ} = 116, 5 7^{\circ}$