Roboguru

Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan berikut ini, untuk 0≤θ≤2π. sin2θ−3​cos2θ=−2

Pertanyaan

Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan berikut ini, untuk 0 less or equal than theta less or equal than 2 pi.

sin space 2 theta space minus space square root of 3 space cos space 2 theta space equals space minus 2space space 

Pembahasan Soal:

Ingat,

Bentuk khusus trigonometri

Pengubahan a space cos space x space plus space b space sin space x ke bentuk R space cos space open parentheses x minus alpha close parentheses

dengan R equals square root of a squared plus b squared end root dan alpha equals tan to the power of negative 1 end exponent open parentheses b over a close parentheses

Berdasarkan rumus tersebut, diperoleh perhitungan sebagai berikut

sin space 2 theta space minus space square root of 3 space cos space 2 theta space equals space minus 2

Diketahui a equals negative square root of 3 comma space b equals 1 titik open parentheses negative square root of 3 comma space 1 close parentheses di kuadran II

R equals square root of a squared plus b squared end root equals square root of open parentheses negative square root of 3 close parentheses squared plus 1 squared end root equals square root of 3 plus 1 end root equals square root of 4 equals 2

alpha equals tan to the power of negative 1 end exponent open parentheses negative fraction numerator 1 over denominator square root of 3 end fraction close parentheses equals tan to the power of negative 1 end exponent open parentheses negative 1 third square root of 3 close parentheses equals fraction numerator 5 straight pi over denominator 6 end fraction

►Pengubahan bentuk sin space 2 theta space minus space square root of 3 space cos space 2 theta menjadi  R space cos space open parentheses 2 theta minus alpha close parentheses

sin space 2 theta space minus space square root of 3 space cos space 2 theta space equals space 2 space cos space open parentheses 2 theta minus fraction numerator 5 straight pi over denominator 6 end fraction close parentheses

►Penyelesaian persamaan

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell sin space 2 theta space minus space square root of 3 space cos space 2 theta space end cell equals cell space minus 2 end cell row cell 2 space cos space open parentheses 2 theta minus fraction numerator 5 straight pi over denominator 6 end fraction close parentheses end cell equals cell negative 2 end cell row cell cos space open parentheses 2 theta minus fraction numerator 5 straight pi over denominator 6 end fraction close parentheses end cell equals cell negative 1 end cell row cell cos space open parentheses 2 theta minus fraction numerator 5 straight pi over denominator 6 end fraction close parentheses end cell equals cell cos space straight pi end cell end table

►Menentukan himpunan penyelesaian bentuk cos space x equals cos space p

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell cos space x end cell equals cell cos space p end cell row cell x subscript 1 end cell equals cell p plus k times 2 straight pi end cell row cell straight x subscript 2 end cell equals cell negative straight p plus straight k times 2 straight pi end cell row blank blank blank row cell cos open parentheses 2 straight theta minus fraction numerator 5 straight pi over denominator 6 end fraction close parentheses end cell equals cell cos space straight pi end cell row cell 2 straight theta subscript 1 minus fraction numerator 5 straight pi over denominator 6 end fraction end cell equals cell straight pi plus open parentheses 1 close parentheses times 2 straight pi end cell row cell 2 straight theta subscript 1 end cell equals cell 3 straight pi plus fraction numerator 5 straight pi over denominator 6 end fraction end cell row cell 2 straight theta subscript 1 end cell equals cell fraction numerator 23 straight pi over denominator 6 end fraction end cell row cell straight theta subscript 1 end cell equals cell fraction numerator 23 straight pi over denominator 12 end fraction end cell row blank blank blank row cell cos open parentheses 2 straight theta minus fraction numerator 5 straight pi over denominator 6 end fraction close parentheses end cell equals cell cos space straight pi end cell row cell 2 straight theta subscript 2 minus fraction numerator 5 straight pi over denominator 6 end fraction end cell equals cell negative straight pi plus open parentheses 1 close parentheses times 2 straight pi end cell row cell 2 straight theta subscript 2 end cell equals cell negative straight pi over 6 plus 2 straight pi end cell row cell 2 straight theta subscript 2 end cell equals cell fraction numerator 11 straight pi over denominator 6 end fraction end cell row cell straight theta subscript 2 end cell equals cell fraction numerator 11 straight pi over denominator 12 end fraction end cell end table

Keterangan: k merupakan sembarang bilangan bulat sehingga  0 less or equal than theta less or equal than 2 pi

Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari persamaan sin space 2 theta space minus space square root of 3 space cos space 2 theta space equals space minus 2, untuk 0 less or equal than theta less or equal than 2 pi adalah open curly brackets fraction numerator 11 straight pi over denominator 12 end fraction comma space fraction numerator 23 straight pi over denominator 12 end fraction close curly brackets.space space 

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

R. Utami

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Malang

Terakhir diupdate 07 September 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan berikut ini, untuk −2π≤x≤2π. sinx=cosx+2​

Pembahasan Soal:

Ingat,

Bentuk khusus trigonometri

Pengubahan acosx+bsinx ke bentuk Rcos(xα)

dengan R=a2+b2 dan α=tan1(ab)

Berdasarkan rumus tersebut, diperoleh perhitungan sebagai berikut

sinx=cosx+2sinxcosx=2

Diketahui a=1,b=1 titik (1,1)  di kuadran II

R=a2+b2=(1)2+12=1+1=2

α=tan1(ab)=tan1(11)=tan1(1)=π

►Pengubahan bentuk sinxcosx menjadi  Rcos(xα)

sinxcosx=2cos(xπ)

►Penyelesaian persamaan

sinxsinxcosx2cos(xπ)cos(xπ)cos(xπ)=====cosx+2221cos0

►Menentukan himpunan penyelesaian bentuk cosx=cosp

cosxx1x2cos(xπ)xπxxcos(xπ)xπx==========cospp+k2πp+k2πcos00+(1)2ππ2ππcos00+(0)2ππ

Keterangan: k merupakan sembarang bilangan bulat sehingga 2πx2π

Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari persamaan sinx=cosx+2, untuk 2πx2π adalah {π,π}. 

0

Roboguru

Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan berikut ini, untuk 0≤θ≤2π. 3​sinθ+cosθ=−1

Pembahasan Soal:

Ingat,

Bentuk khusus trigonometri

Pengubahan acosx+bsinx ke bentuk Rcos(xα)

dengan R=a2+b2 dan α=tan1(ab)

Berdasarkan rumus tersebut, diperoleh perhitungan sebagai berikut

3sinθ+cosθ=1

Diketahui a=1,b=3 titik (1,3) di kuadran I

R=a2+b2=12+(3)2=1+3=4=2

α=tan1(ab)=tan1(13)=tan1(3)=3π(karenakuadranI)

►Pengubahan bentuk 3sinθ+cosθ menjadi Rcos(θα) 

3sinθ+cosθ=2cos(θ3π)

►Penyelesaian persamaan

3sinθ+cosθ2cos(θ3π)cos(θ3π)cos(θ3π)====1121cos32π

►Menentukan himpunan penyelesaian bentuk cosx=cosp

cosxx1x2cos(θ3π)(θ13π)θ1θ1cos(θ3π)(θ23π)θ2θ2===========cospp+k2πp+k2πcos32π32π+(0)2π32π+3ππcos32π32π+(1)2π32π+2π+3π35π

Keterangan: k merupakan sembarang bilangan bulat sehingga 0θ2π

Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari persamaan 3sinθ+cosθ=1, untuk 0θ2π adalah {π,35π}. 

0

Roboguru

Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan berikut ini, untuk −2π≤x≤2π. 2sinxcosx=1−3​cos2x

Pembahasan Soal:

Ingat,

Bentuk khusus trigonometri

Pengubahan acosx+bsinx ke bentuk Rcos(xα)

dengan R=a2+b2 dan α=tan1(ab)

Sinus sudut rangkap

sin2x=2sinxcosx

Berdasarkan rumus tersebut, diperoleh perhitungan sebagai berikut

2sinxcosx2sinxcosx+3cos2xsin2x+3cos2x===13cos2x11

Diketahui a=3,b=1 titik (3,1) di kuadran I

R=a2+b2=(3)2+12=3+1=4=2

α=tan1(ab)=tan1(31)=tan1(313)=6π(karenakuadranI)

►Pengubahan bentuk sin2x+3cos2x menjadi  Rcos(2xα)

sin2x+3cos2x=2cos(2x6π)

►Penyelesaian persamaan

sin2x+3cos2x2cos(2x6π)cos(2x6π)cos(2x6π)====1121cos3π

►Menentukan himpunan penyelesaian bentuk cosx=cosp

cosxx1x2cos(2x6π)2x6π2x2xxcos(2x6π)2x6π2x2xxcos(2x6π)2x6π2xxcos(2x6π)2x6π2x2xxcos(2x6π)2x6π2x2xxcos(2x6π)2x6π2xxcos(2x6π)2x6π2x2xx====================================cospp+k2πp+k2πcos3π3π+(2)2π2π4π27π47πcos3π3π+(1)2π2π2π23π43πcos3π3π+(0)2π2π4πcos3π3π+(1)2π2π+2π25π45πcos3π3π+(1)2π6π2π613π1213πcos3π3π+(0)2π6π12πcos3π3π+(1)2π6π+2π611π1211π

Keterangan: k merupakan sembarang bilangan bulat sehingga 2πx2π

Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari persamaan 2sinxcosx=13cos2x, untuk 2πx2π adalah {47π,1213π,43π,12π,4π,1211π,45π,1223π}. 

0

Roboguru

Nyatakan 2cosx+sinx dalam bentuk Rcos(x−α)∘ dengan R>0 dan 0∘<α<90∘, kemudian selesaikan persamaan 2cosx∘+sinx∘=1 untuk semua solusi antara 0∘ dan 360∘.

Pembahasan Soal:

Ingat,

Bentuk khusus trigonometri

Pengubahan acosx+bsinx ke bentuk Rcos(xα)

dengan R=a2+b2  dan α=tan1(ab)

Berdasarkan rumus tersebut, diperoleh perhitungan sebagai berikut

►Nyatakan 2cosx+sinx dalam bentuk Rcos(xα) dengan R>0 dan 0<α<90

2cosx+sinx

Diketahui a=2,b=1 titik (2,1) di kuadran I

R=a2+b2=22+12=4+1=5

α=tan1(ab)=tan1(21)=26,57(karenakuadranI)

2cosx+sinx=Rcos(xα)2cosx+sinx=5cos(x26,57)

Sehingga, pengubahan 2cosx+sinx dalam bentuk Rcos(xα) dengan R>0 dan 0<α<90 adalah 5cos(x26,57)

►Penyelesaian persamaan  2cosx+sinx=1 untuk semua solusi antara 0 dan 360

2cosx+sinx5cos(x26,57)cos(x26,57)cos(x26,57)====1151cos63,435

menentukan himpunan penyelesaian bentuk cosx=cosp

cosxx1x2cos(x26,57)x26,57xxxcos(x26,57)x26,57xxx=============cospp+k360p+k360cos63,43563,435+(0)36026,57+63,43590,00590cos63,43563,435+(1)36026,5763,435+36036,865+360323,135

Keterangan: k merupakan sembarang bilangan bulat sehingga x antara 0 dan 360

Sehingga, penyelesaian dari persamaan 2cosx+sinx=1, untuk semua solusi antara 0 dan 360 adalah x=90 dan x=323,135. 

0

Roboguru

Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan berikut ini, untuk −2π≤x≤2π. cosx−3​sinx=1

Pembahasan Soal:

Ingat,

Bentuk khusus trigonometri

Pengubahan acosx+bsinx ke bentuk Rcos(xα)

dengan R=a2+b2 dan α=tan1(ab)

Berdasarkan rumus tersebut, diperoleh perhitungan sebagai berikut

cosx3sinx=1

Diketahui a=1,b=3 titik (1,3) di kuadran IV

R=a2+b2=12+(3)2=1+3=4=2

α=tan1(ab)=tan1(13)=tan1(3)=35π(karenakuadranIV)

►Pengubahan bentuk cosx3sinx menjadi Rcos(xα)

cosx3sinx=2cos(x35π)

►Penyelesaian persamaan

cosx3sinx2cos(x35π)cos(x35π)cos(x35π)====1121cos3π

►Menentukan himpunan penyelesaian bentuk cosx=cosp

cosxx1x2cos(x35π)x35πxxcos(x35π)x35πxxcos(x35π)x35πxxcos(x35π)x35πx==================cospp+k2πp+k2πcos3π3π+(1)2π36π2π0cos3π3π+(0)2π36π+2π2πcos3π3π+(1)2π34π2π32πcos3π3π+(0)2π34π

Keterangan: k merupakan sembarang bilangan bulat sehingga 2πx2π

Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari persamaan cosx3sinx=1, untuk 2πx2π adalah {32π,0,34π,2π}. 

0

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved