Tentukanlah himpunan penyelesaian daripersamaan berikut ini, untuk − 2 π ≤ x ≤ 2 π .
cos x − 3 sin x = 1
Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan berikut ini, untuk −2π≤x≤2π.
cosx−3sinx=1
Iklan
MC
M. Claudia
Master Teacher
Mahasiswa/Alumni Universitas Nusa Cendana Kupang
Jawaban terverifikasi
Jawaban
himpunan penyelesaian daripersamaan cos x − 3 sin x = 1 , untuk − 2 π ≤ x ≤ 2 π adalah { − 3 2 π , 0 , 3 4 π , 2 π } .
himpunan penyelesaian dari persamaan cosx−3sinx=1, untuk −2π≤x≤2π adalah {−32π,0,34π,2π}.
Iklan
Pembahasan
Ingat,
Bentuk khusus trigonometri
Pengubahan a cos x + b sin x ke bentuk R cos ( x − α )
dengan R = a 2 + b 2 dan α = tan − 1 ( a b )
Berdasarkan rumus tersebut, diperoleh perhitungan sebagai berikut
cos x − 3 sin x = 1
Diketahui a = 1 , b = − 3 titik ( 1 , − 3 ) di kuadran IV
R = a 2 + b 2 = 1 2 + ( − 3 ) 2 = 1 + 3 = 4 = 2
α = tan − 1 ( a b ) = tan − 1 ( − 1 3 ) = tan − 1 ( − 3 ) = 3 5 π ( karena kuadran IV )
►Pengubahan bentuk cos x − 3 sin x menjadi R cos ( x − α )
cos x − 3 sin x = 2 cos ( x − 3 5 π )
►Penyelesaian persamaan
cos x − 3 sin x 2 cos ( x − 3 5 π ) cos ( x − 3 5 π ) cos ( x − 3 5 π ) = = = = 1 1 2 1 cos 3 π
►Menentukan himpunan penyelesaian bentuk cos x = cos p
cos x x 1 x 2 cos ( x − 3 5 π ) x − 3 5 π x x cos ( x − 3 5 π ) x − 3 5 π x x cos ( x − 3 5 π ) x − 3 5 π x x cos ( x − 3 5 π ) x − 3 5 π x = = = = = = = = = = = = = = = = = = cos p p + k ⋅ 2 π − p + k ⋅ 2 π cos 3 π 3 π + ( − 1 ) ⋅ 2 π 3 6 π − 2 π 0 cos 3 π 3 π + ( 0 ) ⋅ 2 π 3 6 π + 2 π 2 π cos 3 π − 3 π + ( − 1 ) ⋅ 2 π 3 4 π − 2 π − 3 2 π cos 3 π − 3 π + ( 0 ) ⋅ 2 π 3 4 π
Keterangan: k merupakan sembarang bilangan bulat sehingga − 2 π ≤ x ≤ 2 π
Dengan demikian,himpunan penyelesaian daripersamaan cos x − 3 sin x = 1 , untuk − 2 π ≤ x ≤ 2 π adalah { − 3 2 π , 0 , 3 4 π , 2 π } .
Ingat,
Bentuk khusus trigonometri
Pengubahan acosx+bsinx ke bentuk Rcos(x−α)
dengan R=a2+b2 dan α=tan−1(ab)
Berdasarkan rumus tersebut, diperoleh perhitungan sebagai berikut