Pertanyaan

Tentukanlah himpunan penyelesaian daripersamaan berikut ini, untuk 0 ≤ θ ≤ 2 π . 3 cos 2 θ + sin 2 θ = 1

Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan berikut ini, untuk $0 \leq θ \leq 2 π$ .

$3 cos 2 θ + sin 2 θ = 1$ $\;\;$

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

M. Claudia

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Nusa Cendana Kupang

Jawaban terverifikasi

Jawaban

himpunan penyelesaian daripersamaan 3 cos 2 θ + sin 2 θ = 1 , untuk 0 ≤ θ ≤ 2 π adalah { 4 π , 12 11 π } .

himpunan penyelesaian dari persamaan

3 cos 2 θ + sin 2 θ = 1

, untuk

0 \leq θ \leq 2 π

adalah

{\frac{π}{4}, \frac{11 π}{12}}

. $\;\;$

Pembahasan

Ingat, Bentuk khusus trigonometri Pengubahan a cos x + b sin x ke bentuk R cos ( x − α ) dengan R = a 2 + b 2 dan α = tan − 1 ( a b ) Berdasarkan rumus tersebut, diperoleh perhitungan sebagai berikut 3 cos 2 θ + sin 2 θ = 1 Diketahui a = 3 , b = 1 titik ( 3 , 1 ) di kuadran I R = a 2 + b 2 = ( 3 ) 2 + 1 2 = 3 + 1 = 4 = 2 α = tan − 1 ( a b ) = tan − 1 ( 3 1 ) = tan − 1 ( 3 1 3 ) = 6 π ( karena kuadran I ) ►Pengubahan bentuk 3 cos 2 θ + sin 2 θ menjadi R cos ( 2 θ − α ) 3 cos 2 θ + sin 2 θ = 2 cos ( 2 θ − 6 π ) ►Penyelesaian persamaan 3 cos 2 θ + sin 2 θ 2 cos ( 2 θ − 6 π ) cos ( 2 θ − 6 π ) cos ( 2 θ − 6 π ) = = = = 1 1 2 1 cos 3 π ►Menentukan himpunan penyelesaian bentuk cos x = cos p cos x = cos p x 1 = p + k ⋅ 2 π x 2 = − p + k ⋅ 2 π cos ( 2 θ − 6 π ) = cos 3 π 2 θ 1 − 6 π = 3 π + ( 0 ) ⋅ 2 π 2 θ 1 = 3 π + 6 π 2 θ 1 = 3 π + 6 π 2 θ 1 = 2 π θ 1 = 4 π cos ( 2 θ − 6 π ) = cos 3 π 2 θ 2 − 6 π = − 3 π + ( 1 ) ⋅ 2 π 2 θ 2 = − 3 π + 6 π + 2 π 2 θ 2 = − 6 π + 2 π 2 θ 2 = 6 11 π θ 2 = 12 11 π Keterangan: k merupakan sembarang bilangan bulat sehingga 0 ≤ θ ≤ 2 π Dengan demikian,himpunan penyelesaian daripersamaan 3 cos 2 θ + sin 2 θ = 1 , untuk 0 ≤ θ ≤ 2 π adalah { 4 π , 12 11 π } .

Ingat,

Bentuk khusus trigonometri

Pengubahan $a cos x + b sin x$ ke bentuk $R cos (x - α)$

dengan $R = a^{2} + b^{2}$ dan $α = tan^{- 1} (\frac{b}{a})$

Berdasarkan rumus tersebut, diperoleh perhitungan sebagai berikut

$3 cos 2 θ + sin 2 θ = 1$

Diketahui $a = 3, b = 1$ titik $(3, 1)$ di kuadran I

$R = a^{2} + b^{2} = (3)^{2} + 1^{2} = 3 + 1 = 4 = 2$

$α = tan^{- 1} (\frac{b}{a}) = tan^{- 1} (\frac{1}{3}) = tan^{- 1} (\frac{1}{3} 3) = \frac{π}{6} (karena kuadran I)$

►Pengubahan bentuk $3 cos 2 θ + sin 2 θ$ menjadi $R cos (2 θ - α)$

$3 cos 2 θ + sin 2 θ = 2 cos (2 θ - \frac{π}{6})$

►Penyelesaian persamaan

$3 cos 2 θ + sin 2 θ 2 cos (2 θ - \frac{π}{6}) cos (2 θ - \frac{π}{6}) cos (2 θ - \frac{π}{6}) = = = = 11 \frac{1}{2} cos \frac{π}{3}$

►Menentukan himpunan penyelesaian bentuk $cos x = cos p$

$cos x = cos p x_{1} = p + k \cdot 2 π x_{2} = - p + k \cdot 2 π cos (2 θ - \frac{π}{6}) = cos \frac{π}{3} 2 θ_{1} - \frac{π}{6} = \frac{π}{3} + (0) \cdot 2 π 2 θ_{1} = \frac{π}{3} + \frac{π}{6} 2 θ_{1} = \frac{π}{3} + \frac{π}{6} 2 θ_{1} = \frac{π}{2} θ_{1} = \frac{π}{4} cos (2 θ - \frac{π}{6}) = cos \frac{π}{3} 2 θ_{2} - \frac{π}{6} = - \frac{π}{3} + (1) \cdot 2 π 2 θ_{2} = - \frac{π}{3} + \frac{π}{6} + 2 π 2 θ_{2} = - \frac{π}{6} + 2 π 2 θ_{2} = \frac{11 π}{6} θ_{2} = \frac{11 π}{12}$

Keterangan: $k$ merupakan sembarang bilangan bulat sehingga $0 \leq θ \leq 2 π$

Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari persamaan $3 cos 2 θ + sin 2 θ = 1$ , untuk $0 \leq θ \leq 2 π$ adalah ${\frac{π}{4}, \frac{11 π}{12}}$ . $\;\;$