Pertanyaan

Tentukan turunan pertama ( d x d y ) fungsi-fungsi di bawah ini. b. y = arctan ( x 2 − 1 1 )

Tentukan turunan pertama $(\frac{d y}{d x})$ fungsi-fungsi di bawah ini.

b. $y = arctan (\frac{1}{x ^{2} - 1})$

O. Rahmawati

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni UIN Sunan Gunung Djati Bandung

Jawaban terverifikasi

Jawaban

turunan pertama dari y = arctan ( x 2 − 1 1 ) adalah .

turunan pertama dari

y = arctan (\frac{1}{x ^{2} - 1})

adalah $begin mathsize 14px style fraction numerator negative 1 over denominator x square root of x squared minus 1 end root end fraction end style$ .

Pembahasan

Ingat rumus turunan fungsi invers trigonometri sebagai berikut. y = arctan x ↔ d x d y = 1 + x 2 1 Diketahui: y = arctan ( x 2 − 1 1 ) , Misalkan: , maka turunan pertama diperoleh sebagai berikut: Dengan menggunakan aturan rantai pada turunan, maka diperoleh turunan pertama y = arctan ( x 2 − 1 1 ) sebagai berikut. y d x d y = = = = = = = = = = = arctan ( x 2 − 1 1 ) d v d y ⋅ d x d v d v d ( a r c t a n v ) ⋅ d x d ( x 2 − 1 1 ) 1 + v 2 1 ⋅ ( x 2 − 1 ) 2 3 − x 1 + ( x 2 − 1 1 ) 2 1 ⋅ ( x 2 − 1 ) 2 3 − x 1 + ( x 2 − 1 1 ) 1 ⋅ ( x 2 − 1 ) 2 3 − x x 2 − 1 x 2 − 1 + 1 1 . ( x 2 − 1 ) 2 3 − x x 2 − 1 x 2 1 ⋅ ( x 2 − 1 ) 2 3 − x x 2 x 2 − 1 ⋅ ( x 2 − 1 ) 2 3 − x x 2 x 2 − 1 ⋅ ( x 2 − 1 ) x 2 − 1 − x x ( x 2 − 1 ) − 1 Jadi, turunan pertama dari y = arctan ( x 2 − 1 1 ) adalah .

Ingat rumus turunan fungsi invers trigonometri sebagai berikut.

$y = arctan x \leftrightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + x ^{2}}$

Diketahui: $y = arctan (\frac{1}{x ^{2} - 1})$ ,

Misalkan: $begin mathsize 14px style v equals fraction numerator 1 over denominator square root of x squared minus 1 end root end fraction end style$ , maka turunan pertama diperoleh sebagai berikut:

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row v equals cell fraction numerator 1 over denominator square root of x squared minus 1 end root end fraction end cell row v equals cell open parentheses x squared minus 1 close parentheses to the power of negative 1 half end exponent end cell row cell fraction numerator d v over denominator d x end fraction end cell equals cell negative 1 half open parentheses x squared minus 1 close parentheses to the power of negative 3 over 2 end exponent open parentheses 2 x close parentheses end cell row blank equals cell negative open parentheses x squared minus 1 close parentheses to the power of negative 3 over 2 end exponent open parentheses x close parentheses end cell row blank equals cell fraction numerator negative x over denominator open parentheses x squared minus 1 close parentheses to the power of begin display style 3 over 2 end style end exponent end fraction end cell end table end style$

Dengan menggunakan aturan rantai pada turunan, maka diperoleh turunan pertama $y = arctan (\frac{1}{x ^{2} - 1})$ sebagai berikut.

$y \frac{d y}{d x} = = = = = = = = = = = arctan (\frac{1}{x ^{2} - 1}) \frac{d y}{d v} \cdot \frac{d v}{d x} \frac{d ( a r c t a n v )}{d v} \cdot \frac{d ( \frac{1}{x ^{2} - 1} )}{d x} \frac{1}{1 + v ^{2}} \cdot \frac{- x}{( x ^{2} - 1 ) ^{\frac{3}{2}}} \frac{1}{1 + ( \frac{1}{x ^{2} - 1} ) ^{2}} \cdot \frac{- x}{( x ^{2} - 1 ) ^{\frac{3}{2}}} \frac{1}{1 + ( \frac{1}{x ^{2} - 1} )} \cdot \frac{- x}{( x ^{2} - 1 ) ^{\frac{3}{2}}} \frac{1}{\frac{x ^{2} - 1 + 1}{x ^{2} - 1}} . \frac{- x}{( x ^{2} - 1 ) ^{\frac{3}{2}}} \frac{1}{\frac{x ^{2}}{x ^{2} - 1}} \cdot \frac{- x}{( x ^{2} - 1 ) ^{\frac{3}{2}}} \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2}} \cdot \frac{- x}{( x ^{2} - 1 ) ^{\frac{3}{2}}} \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2}} \cdot \frac{- x}{( x ^{2} - 1 ) x ^{2} - 1} \frac{- 1}{x ( x ^{2} - 1 )}$

Jadi, turunan pertama dari $y = arctan (\frac{1}{x ^{2} - 1})$ adalah $begin mathsize 14px style fraction numerator negative 1 over denominator x square root of x squared minus 1 end root end fraction end style$ .