Pertanyaan

Tentukan suatu vektor yang besarnya 1 dan tegak lurus terhadap kedua vektor a = ( 2 , − 2 , 1 ) dan b = ( 2 , 3 , − 4 )

Tentukan suatu vektor yang besarnya 1 dan tegak lurus terhadap kedua vektor $a = (2, - 2, 1)$ dan $b = (2, 3, - 4)$

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

K. Prameswari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Gadjah Mada

Jawaban terverifikasi

Jawaban

diperoleh c = ( 3 1 , 3 2 , 3 2 ) atau c = ( − 3 1 , − 3 2 , − 3 2 )

diperoleh

c = (\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})

atau

c = (- \frac{1}{3}, - \frac{2}{3}, - \frac{2}{3})

Pembahasan

Ingat bahwa dua buah vektor p = ( p 1 , p 2 , p 3 ) dan q = ( q 1 , q 2 , q 3 ) dikatakan tegak lurus apabila p ⋅ q ⎝ ⎛ p 1 p 2 p 3 ⎠ ⎞ ⋅ ⎝ ⎛ q 1 q 2 q 3 ⎠ ⎞ p 1 q 1 + p 2 q 2 + p 3 q 3 = = = 0 0 0 Namakan vektor yang akan dicari dengan vektor c = ( c 1 , c 2 , c 3 ) . Diketahui besar vektor c adalah 1, berarti ∣ c ∣ c 1 2 + c 2 2 + c 3 2 = = 1 1 ........... ( i ) Selanjutnya, diketahui bahwa 1. Vektor c tegak lurus terhadap vektor a = ( 2 , − 2 , 1 ) , berarti c ⋅ a ⎝ ⎛ c 1 c 2 c 3 ⎠ ⎞ ⋅ ⎝ ⎛ 2 − 2 1 ⎠ ⎞ ( c 1 × 2 ) + ( c 2 × ( − 2 ) ) + ( c 3 × 1 ) 2 c 1 − 2 c 2 + c 3 = = = = 0 0 0 0 ................ ( ii ) 2. Vektor c tegak lurus terhadap vektor b = ( 2 , 3 , − 4 ) , berarti c ⋅ b ⎝ ⎛ c 1 c 2 c 3 ⎠ ⎞ ⋅ ⎝ ⎛ 2 3 − 4 ⎠ ⎞ ( c 1 × 2 ) + ( c 2 × 3 ) + ( c 3 × ( − 4 ) ) 2 c 1 + 3 c 2 − 4 c 3 = = = = 0 0 0 0 ................ ( iii ) Kemudian, akan dilakukan eliminasi antara persamaan (ii) dan (iii) sebagai berikut 2 c 1 − 2 c 2 + c 3 = 0 2 c 1 + 3 c 2 − 4 c 3 = 0 − − 5 c 2 + 5 c 3 = 0 5 c 3 = 5 c 2 c 3 = c 2 Subtitusi ke persamaan (ii) diperoleh 2 c 1 − 2 c 2 + c 3 2 c 1 − 2 c 2 + c 2 2 c 1 − c 2 2 c 1 = = = = 0 0 0 c 2 Akibatnya c 3 = c 2 = 2 c 1 . Selanjutnya, subtitusi ke persamaan (i) diperoleh c 1 2 + c 2 2 + c 3 2 ( c 1 2 + c 2 2 + c 3 2 ) 2 c 1 2 + c 2 2 + c 3 2 c 1 2 + ( 2 c 1 ) 2 + ( 2 c 1 ) 2 c 1 2 + 4 c 1 2 + 4 c 1 2 9 c 1 2 c 1 2 c 1 c 1 = = = = = = = = = 1 1 2 1 1 1 1 9 1 ± 9 1 ± 3 1 Untuk c 1 = 3 1 diperoleh c 2 = c 3 = 2 c 1 = 2 ( 3 1 ) = 3 2 Berarti c = ( 3 1 , 3 2 , 3 2 ) Untuk c 1 = − 3 1 diperoleh c 2 = c 3 = 2 c 1 = 2 ( − 3 1 ) = − 3 2 Berarti c = ( − 3 1 , − 3 2 , − 3 2 ) Dengan demikian, diperoleh c = ( 3 1 , 3 2 , 3 2 ) atau c = ( − 3 1 , − 3 2 , − 3 2 )

Ingat bahwa dua buah vektor $p = (p_{1}, p_{2}, p_{3})$ dan $q = (q_{1}, q_{2}, q_{3})$ dikatakan tegak lurus apabila

$p \cdot q ⎝ ⎛ p_{1} p_{2} p_{3} ⎠ ⎞ \cdot ⎝ ⎛ q_{1} q_{2} q_{3} ⎠ ⎞ p_{1} q_{1} + p_{2} q_{2} + p_{3} q_{3} = = = 000$

Namakan vektor yang akan dicari dengan vektor $c = (c_{1}, c_{2}, c_{3})$ . Diketahui besar vektor $c$ adalah 1, berarti

$∣ c ∣ c_{1}^{2} + c_{2}^{2} + c_{3}^{2} = = 1 1 ........... (i)$

Selanjutnya, diketahui bahwa

1. Vektor $c$ tegak lurus terhadap vektor $a = (2, - 2, 1)$ , berarti

$c \cdot a ⎝ ⎛ c_{1} c_{2} c_{3} ⎠ ⎞ \cdot ⎝ ⎛ 2 - 2 1 ⎠ ⎞ (c_{1} \times 2) + (c_{2} \times (- 2)) + (c_{3} \times 1) 2 c_{1} - 2 c_{2} + c_{3} = = = = 000 0 ................ (ii)$

2. Vektor $c$ tegak lurus terhadap vektor $b = (2, 3, - 4)$ , berarti

$c \cdot b ⎝ ⎛ c_{1} c_{2} c_{3} ⎠ ⎞ \cdot ⎝ ⎛ 23 - 4 ⎠ ⎞ (c_{1} \times 2) + (c_{2} \times 3) + (c_{3} \times (- 4)) 2 c_{1} + 3 c_{2} - 4 c_{3} = = = = 000 0 ................ (iii)$

Kemudian, akan dilakukan eliminasi antara persamaan (ii) dan (iii) sebagai berikut

$2 c_{1} - 2 c_{2} + c_{3} = 0 \underline{2 c_{1} + 3 c_{2} - 4 c_{3} = 0 -} - 5 c_{2} + 5 c_{3} = 0 5 c_{3} = 5 c_{2} c_{3} = c_{2}$

Subtitusi ke persamaan (ii) diperoleh

$2 c_{1} - 2 c_{2} + c_{3} 2 c_{1} - 2 c_{2} + c_{2} 2 c_{1} - c_{2} 2 c_{1} = = = = 000 c_{2}$

Akibatnya $c_{3} = c_{2} = 2 c_{1}$ . Selanjutnya, subtitusi ke persamaan (i) diperoleh

$c_{1}^{2} + c_{2}^{2} + c_{3}^{2} (c_{1}^{2} + c_{2}^{2} + c_{3}^{2})^{2} c_{1}^{2} + c_{2}^{2} + c_{3}^{2} c_{1}^{2} + (2 c_{1})^{2} + (2 c_{1})^{2} c_{1}^{2} + 4 c_{1}^{2} + 4 c_{1}^{2} 9 c_{1}^{2} c_{1}^{2} c_{1} c_{1} = = = = = = = = = 1 1^{2} 1111 \frac{1}{9} \pm \frac{1}{9} \pm \frac{1}{3}$

Untuk $c_{1} = \frac{1}{3}$ diperoleh

$c_{2} = c_{3} = 2 c_{1} = 2 (\frac{1}{3}) = \frac{2}{3}$

Berarti $c = (\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

Untuk $c_{1} = - \frac{1}{3}$ diperoleh

$c_{2} = c_{3} = 2 c_{1} = 2 (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3}$

Berarti $c = (- \frac{1}{3}, - \frac{2}{3}, - \frac{2}{3})$

Dengan demikian, diperoleh $c = (\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$ atau $c = (- \frac{1}{3}, - \frac{2}{3}, - \frac{2}{3})$

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (4 rating)

Kristamia kiara

Bantu banget

Pertanyaan serupa

Gambar OADC.BEFG adalah paralelpipedum yaitu padatan dengan enam sisi. Setiap sisi jajargenjang yang berseberangan kongruen. O adalah titik asal. A, B, dan C masing-masing memiliki vektor posisi ⎝ ⎛ ...

0.0

Jawaban terverifikasi

Tentukan nilai x yang memenuhi jika kedua vektor berikut saling tegak lurus b. p = ⎝ ⎛ x 2 6 5 ⎠ ⎞ dan q = ⎝ ⎛ 1 x 1 ⎠ ⎞

167

0.0

Jawaban terverifikasi

Tentukan nilai skalar jika vektor dan saling tegak lurus.

5.0

Jawaban terverifikasi

Tentukan nilai x yang memenuhi jika kedua vektor berikut saling tegak lurus c. a = ⎝ ⎛ x 3 x + 1 2 ⎠ ⎞ dan b = ⎝ ⎛ 1 1 − 4 x 2 x + 2 5 ⎠ ⎞

4.0

Jawaban terverifikasi