Pertanyaan

Tentukan semua nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan trigonometri berikut. { sin x + sin y = 1 cos x + cos y = 3 Untuk 0 ≤ x ≤ π dan 0 ≤ y ≤ π

Tentukan semua nilai $x$ dan $y$ yang memenuhi sistem persamaan trigonometri berikut.

${sin x + sin y = 1 cos x + cos y = 3$

Untuk $0 \leq x \leq π$ dan $0 \leq y \leq π$

I. Roy

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Surabaya

Jawaban terverifikasi

Jawaban

semua nilai x dan y yang memenuhi adalah x = 3 0 ∘ dan y = 3 0 ∘

semua nilai

x

dan

y

yang memenuhi adalah

x = 3 0^{\circ}

dan

y = 3 0^{\circ}

Pembahasan

Ingat bahwa: Rumus jumlah dan selisih trigonometri s in A + sin B = 2 sin ( 2 A + B ) cos ( 2 A − B ) cos A + cos B = 2 cos ( 2 A + B ) cos ( 2 A − B ) Dari soal diketahui { sin x + sin y = 1 cos x + cos y = 3 maka cos x + cos y sin x + sin y = ⇔ ⇔ = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 3 2 cos ( 2 x + y ) cos ( 2 x − y ) = 3 cos ( 2 x − y ) = 2 c o s ( 2 x + y ) 3 1 2 sin ( 2 x + y ) cos ( 2 x − y ) = 1 2 sin ( 2 x + y ) ⋅ 2 c o s ( 2 x + y ) 3 = 1 c o s ( 2 x + y ) s i n ( 2 x + y ) = 3 1 tan ( 2 x + y ) = 3 1 3 tan ( 2 x + y ) = tan 3 0 ∘ 2 x + y = 3 0 ∘ x + y = 6 0 ∘ Karena 0 ≤ x ≤ π dan 0 ≤ y ≤ π maka kemungkinan semua nilai x dan y sebagai berikut Jika x = 0 ∘ dan y = 6 0 ∘ maka sin 0 ∘ + sin 6 0 ∘ = 0 + 2 1 3 ( tidak sesuai dengan yang diketahui ) Jka x = 3 0 ∘ dan y = 3 0 ∘ maka sin 3 0 ∘ + sin 3 0 ∘ = 2 1 + 2 1 = 1 ( sesuai dengan yang diketahui ) cos 3 0 ∘ + cos 3 0 ∘ = 2 1 3 + 2 1 3 = 3 ( sesuai dengan yang diketahui ) Dengan demikian semua nilai x dan y yang memenuhi adalah x = 3 0 ∘ dan y = 3 0 ∘

Ingat bahwa:

Rumus jumlah dan selisih trigonometri

$s in A + sin B = 2 sin (\frac{A + B}{2}) cos (\frac{A - B}{2}) cos A + cos B = 2 cos (\frac{A + B}{2}) cos (\frac{A - B}{2})$

Dari soal diketahui

${sin x + sin y = 1 cos x + cos y = 3$

maka

$cos x + cos y sin x + sin y = \Leftrightarrow \Leftrightarrow = \Leftrightarrow \Leftrightarrow \Leftrightarrow \Leftrightarrow \Leftrightarrow \Leftrightarrow \Leftrightarrow 3 2 cos (\frac{x + y}{2}) cos (\frac{x - y}{2}) = 3 cos (\frac{x - y}{2}) = \frac{3}{2 c o s ( \frac{x + y}{2} )} 1 2 sin (\frac{x + y}{2}) cos (\frac{x - y}{2}) = 1 2 sin (\frac{x + y}{2}) \cdot \frac{3}{2 c o s ( \frac{x + y}{2} )} = 1 \frac{s i n ( \frac{x + y}{2} )}{c o s ( \frac{x + y}{2} )} = \frac{1}{3} tan (\frac{x + y}{2}) = \frac{1}{3} 3 tan (\frac{x + y}{2}) = tan 3 0^{\circ} \frac{x + y}{2} = 3 0^{\circ} x + y = 6 0^{\circ}$

Karena $0 \leq x \leq π$ dan $0 \leq y \leq π$ maka kemungkinan semua nilai $x$ dan $y$ sebagai berikut

Jika $x = 0^{\circ} dan y = 6 0^{\circ}$ maka

$sin 0^{\circ} + sin 6 0^{\circ} = 0 + \frac{1}{2} 3 (tidak sesuai dengan yang diketahui)$

Jka $x = 3 0^{\circ} dan y = 3 0^{\circ}$ maka

$sin 3 0^{\circ} + sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 (sesuai dengan yang diketahui) cos 3 0^{\circ} + cos 3 0^{\circ} = \frac{1}{2} 3 + \frac{1}{2} 3 = 3 (sesuai dengan yang diketahui)$