Pertanyaan

Tentukan persamaan lingkaran yang sepusat dengan lingkaran x 2 + y 2 + 6 x − 10 y − 34 = 0 dan menyinggung garis 4 x + 3 y + 7 = 0 .

Tentukan persamaan lingkaran yang sepusat dengan lingkaran $x^{2} + y^{2} + 6 x - 10 y - 34 = 0$ dan menyinggung garis $4 x + 3 y + 7 = 0$ .

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

E. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret

Jawaban terverifikasi

Jawaban

diperoleh persamaan lingkaran yang sepusat dengan lingkaran x 2 + y 2 + 6 x − 10 y − 34 = 0 dan menyinggung garis 4 x + 3 y + 7 = 0 adalah x 2 + y 2 + 6 x − 10 y + 30 = 0 .

diperoleh persamaan lingkaran yang sepusat dengan lingkaran

x^{2} + y^{2} + 6 x - 10 y - 34 = 0

dan menyinggung garis

4 x + 3 y + 7 = 0

adalah

x^{2} + y^{2} + 6 x - 10 y + 30 = 0

Pembahasan

Persamaan lingkaran x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 mempunyai pusat ( a , b ) = ( − 2 A , − 2 B ) . Berdasarkan rumus tersebut, maka pusat lingkaran x 2 + y 2 + 6 x − 10 y − 34 = 0 adalah ( a , b ) = = ( − 2 6 , − 2 − 10 ) ( − 3 , 5 ) . Selanjutnya, jika lingkaran menyinggung suatu garis, maka jarak titik pusat lingkaran tersebut dengan garis singgung adalah jari-jari lingkaran tersebut. Ingat rumus jarak titik ( x , y ) ke garis A x + B y + C = 0 dapat ditentukan dengan rumus : jarak = ∣ ∣ A 2 + B 2 A x + B y + C ∣ ∣ Bedasarkan rumus tersebut, maka jari-jari lingkaran adalah jarak titik ( − 3 , 5 ) ke garis 4 x + 3 y + 7 = 0 , yaitu r = = = ∣ ∣ 4 2 + 3 2 4 ( − 3 ) + 3 ( 5 ) + 7 ∣ ∣ ∣ ∣ 5 − 12 + 15 + 7 ∣ ∣ 2 Dengan mensubstitusikan titik pusat dan jari-jari yang diperoleh ke persamaan umum lingkaran, diperoleh ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 ( x − ( − 3 ) ) 2 + ( y − 5 ) 2 ( x + 3 ) 2 + ( y − 5 ) 2 x 2 + 6 x + 9 + y 2 − 10 y + 25 x 2 + y 2 + 6 x − 10 y + 30 = = = = = r 2 2 2 4 4 0 Dengan demikian, diperoleh persamaan lingkaran yang sepusat dengan lingkaran x 2 + y 2 + 6 x − 10 y − 34 = 0 dan menyinggung garis 4 x + 3 y + 7 = 0 adalah x 2 + y 2 + 6 x − 10 y + 30 = 0 .

Persamaan lingkaran $x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$ mempunyai pusat $(a, b) = (- \frac{A}{2}, - \frac{B}{2})$ .

Berdasarkan rumus tersebut, maka pusat lingkaran $x^{2} + y^{2} + 6 x - 10 y - 34 = 0$ adalah

$(a, b) = = (- \frac{6}{2}, - \frac{- 10}{2}) (- 3, 5)$ .

Selanjutnya, jika lingkaran menyinggung suatu garis, maka jarak titik pusat lingkaran tersebut dengan garis singgung adalah jari-jari lingkaran tersebut. Ingat rumus jarak titik $(x, y)$ ke garis $A x + B y + C = 0$ dapat ditentukan dengan rumus :

$jarak = ∣ ∣ \frac{A x + B y + C}{A ^{2} + B ^{2}} ∣ ∣$

Bedasarkan rumus tersebut, maka jari-jari lingkaran adalah jarak titik $(- 3, 5)$ ke garis $4 x + 3 y + 7 = 0$ , yaitu

$r = = = ∣ ∣ \frac{4 ( - 3 ) + 3 ( 5 ) + 7}{4 ^{2} + 3 ^{2}} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{- 12 + 15 + 7}{5} ∣ ∣ 2$

Dengan mensubstitusikan titik pusat dan jari-jari yang diperoleh ke persamaan umum lingkaran, diperoleh

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} (x - (- 3))^{2} + (y - 5)^{2} (x + 3)^{2} + (y - 5)^{2} x^{2} + 6 x + 9 + y^{2} - 10 y + 25 x^{2} + y^{2} + 6 x - 10 y + 30 = = = = = r^{2} 2^{2} 440$

Dengan demikian, diperoleh persamaan lingkaran yang sepusat dengan lingkaran $x^{2} + y^{2} + 6 x - 10 y - 34 = 0$ dan menyinggung garis $4 x + 3 y + 7 = 0$ adalah $x^{2} + y^{2} + 6 x - 10 y + 30 = 0$ .