Pertanyaan

Tentukan persamaan lingkaran yang salah satu diameternya berujung di titik ( − 2 , 3 ) dan ( a , 5 ) , serta tegak lurus garis x + y = 2 .

Tentukan persamaan lingkaran yang salah satu diameternya berujung di titik $(- 2, 3)$ dan $(a, 5)$ , serta tegak lurus garis $x + y = 2$ . $\;\;$

E. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret

Jawaban terverifikasi

Jawaban

persamaan lingkaran yang salah satu diameternya berujung di titik ( − 2 , 3 ) dan ( a , 5 ) , serta tegak lurus garis x + y = 2 adalah x 2 + y 2 + 2 x − 8 y + 15 = 0 .

persamaan lingkaran yang salah satu diameternya berujung di titik

(- 2, 3)

dan

(a, 5)

, serta tegak lurus garis

x + y = 2

adalah

x^{2} + y^{2} + 2 x - 8 y + 15 = 0

. $\;\;$

Pembahasan

Ingat beberapa konsep berikut ini. Persamaan lingkaran yang melalui titik pusat ( a , b ) dan jari-jari r adalah ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 Diameter ( d ) pada persamaan lingkaran dapat dicari menggunakan jarak antara dua titik, misalkan titik ( x a , y a ) dan ( x b , y b ) maka diperoleh, d = ( x b − x a ) 2 + ( y b − y a ) 2 Titik pusat lingkaran yang melalui titik ( x a , y a ) dan ( x b , y b ) diperoleh, Tp = ( 2 x a + x b , 2 y a + y b ) Diketahui: titik ( − 2 , 3 ) dan ( a , 5 ) garis x + y = 2 Ditanya: persamaan lingkaran Jawab: Dikarenakantitik ( − 2 , 3 ) dan ( a , 5 ) merupakan titik-titik ujung dari suatu lingkaran yang membentuk suatu diameter jika dihubungkan, maka kita dapat mencari persamaan yang melalui dua titik tersebut, y 2 − y 1 y − y 1 5 − 3 y − 3 2 y − 3 y − 3 y − 3 y = = = = = = x 2 − x 1 x − x 1 a + 2 x + 2 a + 2 x + 2 a + 2 2 ( x + 2 ) a + 2 2 x + 4 a + 2 2 x + 4 + 3 Didapat gradien garis tersebut yakni m 1 = a + 2 2 . Karena garis tersebut tegak lurus dengangaris x + y y = = 2 − x + 2 yang memiliki gradien m 2 = − 1 , maka hubungan dari gradien kedua garis tersebut adalah, m 1 . m 2 a + 2 2 . − 1 a + 2 2 2 a = = = = = − 1 − 1 1 a + 2 0 Diameter lingkaran yang melalui titik ( − 2 , 3 ) dan ( 0 , 5 ) , d = ( 0 − ( − 2 )) 2 + ( 5 − 3 ) 2 d = ( 2 ) 2 + 2 2 d = 4 + 4 d = 8 d = 2 2 r = 2 1 d r = 2 1 ( 2 2 ) r = 2 Titik pusat lingkaran yang melalui titik ( − 2 , 3 ) dan ( 0 , 5 ) Tp = ( 2 − 2 + 0 , 2 3 + 5 ) = ( − 1 , 4 ) Didapat persamaan lingkaran ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 ( x + 1 ) 2 + ( y − 4 ) 2 x 2 + 2 x + 1 + y 2 − 8 y + 16 x 2 + y 2 + 2 x − 8 y + 16 + 1 − 2 x 2 + y 2 + 2 x − 8 y + 15 = = = = = r 2 ( 2 ) 2 2 0 0 Dengan demikian,persamaan lingkaran yang salah satu diameternya berujung di titik ( − 2 , 3 ) dan ( a , 5 ) , serta tegak lurus garis x + y = 2 adalah x 2 + y 2 + 2 x − 8 y + 15 = 0 .

Ingat beberapa konsep berikut ini.

Persamaan lingkaran yang melalui titik pusat $(a, b)$ dan jari-jari $r$ adalah

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$

Diameter $(d)$ pada persamaan lingkaran dapat dicari menggunakan jarak antara dua titik, misalkan titik $(x_{a}, y_{a}) dan (x_{b}, y_{b})$ maka diperoleh,

$d = (x_{b} - x_{a})^{2} + (y_{b} - y_{a})^{2}$

Titik pusat lingkaran yang melalui titik $(x_{a}, y_{a}) dan (x_{b}, y_{b})$ diperoleh,

$Tp = (\frac{x _{a} + x _{b}}{2}, \frac{y _{a} + y _{b}}{2})$

Diketahui:

titik $(- 2, 3)$ dan $(a, 5)$
garis $x + y = 2$

Ditanya: persamaan lingkaran

Jawab:

Dikarenakan titik $(- 2, 3)$ dan $(a, 5)$ merupakan titik-titik ujung dari suatu lingkaran yang membentuk suatu diameter jika dihubungkan, maka kita dapat mencari persamaan yang melalui dua titik tersebut,

$\frac{y - y _{1}}{y _{2} - y _{1}} \frac{y - 3}{5 - 3} \frac{y - 3}{2} y - 3 y - 3 y = = = = = = \frac{x - x _{1}}{x _{2} - x _{1}} \frac{x + 2}{a + 2} \frac{x + 2}{a + 2} \frac{2 ( x + 2 )}{a + 2} \frac{2 x + 4}{a + 2} \frac{2 x + 4}{a + 2} + 3$

Didapat gradien garis tersebut yakni $m_{1} = \frac{2}{a + 2}$ . Karena garis tersebut tegak lurus dengan garis

$x + y y = = 2 - x + 2$

yang memiliki gradien $m_{2} = - 1$ , maka hubungan dari gradien kedua garis tersebut adalah,

$m_{1} . m_{2} \frac{2}{a + 2} . - 1 \frac{2}{a + 2} 2 a = = = = = - 1 - 1 1 a + 2 0$

Diameter lingkaran yang melalui titik $(- 2, 3)$ dan $(0, 5)$ ,

$d = (0 - (- 2))^{2} + (5 - 3)^{2} d = (2)^{2} + 2^{2} d = 4 + 4 d = 8 d = 22$

$r = \frac{1}{2} d r = \frac{1}{2} (22) r = 2$

Titik pusat lingkaran yang melalui titik $(- 2, 3)$ dan $(0, 5)$

$Tp = (\frac{- 2 + 0}{2}, \frac{3 + 5}{2}) = (- 1, 4)$

Didapat persamaan lingkaran

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} (x + 1)^{2} + (y - 4)^{2} x^{2} + 2 x + 1 + y^{2} - 8 y + 16 x^{2} + y^{2} + 2 x - 8 y + 16 + 1 - 2 x^{2} + y^{2} + 2 x - 8 y + 15 = = = = = r^{2} (2)^{2} 200$

Dengan demikian, persamaan lingkaran yang salah satu diameternya berujung di titik $(- 2, 3)$ dan $(a, 5)$ , serta tegak lurus garis $x + y = 2$ adalah $x^{2} + y^{2} + 2 x - 8 y + 15 = 0$ . $\;\;$

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

4.5 (2 rating)

Pertanyaan serupa

Persamaan lingkaran yang mempunyaidiameter di titik-titik A ( − 4 , 7 ) dan B ( 2 , − 3 ) adalah ....

5.0

Jawaban terverifikasi

Persamaan lingkaran yang diameternyamerupakan garis yang menghubungkantitik ( 1 , 5 ) dan ( 9 , 1 ) adalah ...

4.8

Jawaban terverifikasi

Persamaan lingkaran yang melalui titik-titik ujung diameternya A ( − 1 , 6 ) dan B ( 3 , 2 ) berbentuk ....

4.8

Jawaban terverifikasi

Tentukan pusat dan jari-jari dan kemudian persamaan lingkaran yang mempunyai diameter adalah garis yang menghubungkan titik-titik berikut. b . ( 0 , 0 ) dan ( 8 , 6 )

3.0

Jawaban terverifikasi

Tentukan pusat dan jari-jari dan kemudian persamaan lingkaran yang mempunyai diameter adalah garis yang menghubungkan titik-titik berikut. c . ( 2 , 1 ) dan ( − 2 , 9 )

2.5

Jawaban terverifikasi