Pertanyaan

Tentukan persamaan lingkaran yang menyinggung sumbu X positif dan menyinggung garis y = 3 4 x serta melalui titik ( 4 , 5 3 1 ) ·

Tentukan persamaan lingkaran yang menyinggung sumbu $X$ positif dan menyinggung garis $y = \frac{4}{3} x$ serta melalui titik $(4, 5 \frac{1}{3})$ · $\;\;$

E. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret

Jawaban terverifikasi

Jawaban

persamaan lingkaran yang memiliki titik pusat ( 3 20 , 3 10 ) danmemiliki jari-jari 3 10 adalah ( x − 3 20 ) 2 + ( y − 3 10 ) 2 = ( 3 10 ) 2 .

persamaan lingkaran yang memiliki titik pusat

(\frac{20}{3}, \frac{10}{3})

dan memiliki jari-jari

\frac{10}{3}

adalah

(x - \frac{20}{3})^{2} + (y - \frac{10}{3})^{2} = (\frac{10}{3})^{2}

. $\;\;$

Pembahasan

Ingat beberapa rumus berikut! Rumus persamaan lingkaran dengan titik pusat ( a , b ) dan berjari-jari r adalah: ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 Jarak ( d ) antara titik ( x 1 , y 1 ) ke garis a x + b y + c = 0 adalah: d = a 2 + b 2 ( a . x 1 + b . y 1 + c ) Jawab: Dikarenakan lingkaranmenyinggung sumbu X makajari-jari lingkaran akan sama dengan ordinat titik pusat yakni r = b Selain itu, lingkaran menyinggung garis y = 3 4 x artinya jari-jari lingkaran sama dengan jarak antara titik pusat dengan garis y = 3 4 x , sehingga di dapat y 3 y 3 y − 4 x = = = 3 4 x 4 x 0 Misalkan persamaan lingkaran tersebut memiliki titik pusat ( a , b ) dan menyinggung garis 3 x − 4 y = 0 , sehingga kita dapat mencari jarak dengan rumus berikut, d = a 2 + b 2 ( a . x 1 + b . y 1 + c ) d = 3 2 + ( − 4 ) 2 ( 3 a − 4 b + 0 ) d = 9 + 16 ( 3 a − 4 b ) d = 25 ( 3 a − 4 b ) d = 5 ( 3 a − 4 b ) Ingat bahwa jarak antara titik pusat dengan garis juga merupakan jari-jari lingkaran, maka diperoleh, d r 5 r = = = 5 ( 3 a − 4 b ) 5 ( 3 a − 4 b ) 3 a − 4 b Dikarenakan r = b , maka didapat: 5 r 5 ( b ) 5 b 6 b 2 b = = = = = 3 a − 4 b 3 a − b 3 a − b 3 a a Persamaan lingkaranmelalui titik pusat ( 2 b , b ) , memiliki jari-jari ( r ) = b dan melalui ( 4 , 5 3 1 ) ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 ( 4 − 2 b ) 2 + ( 3 16 − b ) 2 16 − 16 b + 4 b 2 + ( 3 16 ) 2 − 3 32 b + b 2 16 − 16 b + 4 b 2 + ( 3 16 ) 2 − 3 32 b + b 2 − b 2 16 − 16 b + 4 b 2 + ( 3 16 ) 2 − 3 32 b 4 b 2 − 3 80 b + 9 400 ( 2 b − 3 20 ) 2 2 b − 3 20 2 b b b = = = = = = = = = = = r 2 b 2 b 2 0 0 0 0 0 3 20 2 × 3 20 3 10 a a a = = = 2 b 2 ( 3 10 ) 3 20 Dengan demikian, persamaan lingkaran yang memiliki titik pusat ( 3 20 , 3 10 ) danmemiliki jari-jari 3 10 adalah ( x − 3 20 ) 2 + ( y − 3 10 ) 2 = ( 3 10 ) 2 .

Ingat beberapa rumus berikut!

Rumus persamaan lingkaran dengan titik pusat $(a, b)$ dan berjari-jari $r$ adalah:

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$

Jarak $(d)$ antara titik $(x_{1}, y_{1})$ ke garis $a x + b y + c = 0$ adalah:

$d = \frac{( a . x _{1} + b . y _{1} + c )}{a ^{2} + b ^{2}}$

Jawab:

Dikarenakan lingkaran menyinggung sumbu $X$ maka jari-jari lingkaran akan sama dengan ordinat titik pusat yakni

$r = b$

Selain itu, lingkaran menyinggung garis $y = \frac{4}{3} x$ artinya jari-jari lingkaran sama dengan jarak antara titik pusat dengan garis $y = \frac{4}{3} x$ , sehingga di dapat

$y 3 y 3 y - 4 x = = = \frac{4}{3} x 4 x 0$

Misalkan persamaan lingkaran tersebut memiliki titik pusat $(a, b)$ dan menyinggung garis $3 x - 4 y = 0$ , sehingga kita dapat mencari jarak dengan rumus berikut,

$d = \frac{( a . x _{1} + b . y _{1} + c )}{a ^{2} + b ^{2}} d = \frac{( 3 a - 4 b + 0 )}{3 ^{2} + ( - 4 ) ^{2}} d = \frac{( 3 a - 4 b )}{9 + 16} d = \frac{( 3 a - 4 b )}{25} d = \frac{( 3 a - 4 b )}{5}$

Ingat bahwa jarak antara titik pusat dengan garis juga merupakan jari-jari lingkaran, maka diperoleh,

$d r 5 r = = = \frac{( 3 a - 4 b )}{5} \frac{( 3 a - 4 b )}{5} 3 a - 4 b$

Dikarenakan $r = b$ , maka didapat:

$5 r 5 (b) 5 b 6 b 2 b = = = = = 3 a - 4 b 3 a - b 3 a - b 3 a a$

Persamaan lingkaran melalui titik pusat $(2 b, b)$ , memiliki jari-jari $(r) = b$ dan melalui $(4, 5 \frac{1}{3})$

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} (4 - 2 b)^{2} + (\frac{16}{3} - b)^{2} 16 - 16 b + 4 b^{2} + (\frac{16}{3})^{2} - \frac{32}{3} b + b^{2} 16 - 16 b + 4 b^{2} + (\frac{16}{3})^{2} - \frac{32}{3} b + b^{2} - b^{2} 16 - 16 b + 4 b^{2} + (\frac{16}{3})^{2} - \frac{32}{3} b 4 b^{2} - \frac{80}{3} b + \frac{400}{9} (2 b - \frac{20}{3})^{2} 2 b - \frac{20}{3} 2 b b b = = = = = = = = = = = r^{2} b^{2} b^{2} 00000 \frac{20}{3} \frac{20}{2 \times 3} \frac{10}{3}$

$a a a = = = 2 b 2 (\frac{10}{3}) \frac{20}{3}$

Dengan demikian, persamaan lingkaran yang memiliki titik pusat $(\frac{20}{3}, \frac{10}{3})$ dan memiliki jari-jari $\frac{10}{3}$ adalah $(x - \frac{20}{3})^{2} + (y - \frac{10}{3})^{2} = (\frac{10}{3})^{2}$ . $\;\;$