Pertanyaan

Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik ( − 4 , 2 ) dan ( − 3 , − 1 ) dan berpusat pada garis 3 x − y = 1 . Tunjukkanlah bahwa lingkaran itu bersinggungan dengan lingkaran x 2 + y 2 − 2 x + 4 y + 4 = 0 .

Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik $(- 4, 2) dan (- 3, - 1)$ dan berpusat pada garis $3 x - y = 1$ . Tunjukkanlah bahwa lingkaran itu bersinggungan dengan lingkaran $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + 4 = 0$ .

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

H. Janatu

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Riau

Jawaban terverifikasi

Jawaban

terbukti bahwa kedua lingkaran saling bersinggungan.

Pembahasan

Ingat persamaan umum lingkaran yang berpusat di ( a , b ) dan berjari-jari r sebagai berikut. ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 Diketahui lingkaran melalui titik ( − 4 , 2 ) dan ( − 3 , − 1 ) , dengan mensubstitusikan titik tersebut ke persamaan lingkaran, diperoleh persamaan ( x 1 − a ) 2 + ( y 1 − b ) 2 ( − 4 − a ) 2 + ( 2 − b ) 2 a 2 + 8 a + 16 + b 2 − 4 b + 4 2 a − 6 b a − 3 b = = = = = ( x 2 − a ) 2 + ( y 2 − b ) 2 ( − 3 − a ) 2 + ( − 1 − b ) 2 a 2 + 6 a + 9 + b 2 + 2 b + 1 − 10 − 5... ( 1 ) Diketahui titik pusat lingkaran berada pada garis 3 x − y = 1 , dengan mensubstitusikan titik pusat ke persamaan garis tersebut, diperoleh persamaan 3 a − b = 1... ( 2 ) . Selanjutnya, lakukan metode eliminasi-substitusi pada persamaan (1) dan (2): a − 3 b = − 5 ∣ × 3 ∣ 3 a − 6 b = − 15 3 a − b = 1 ∣ × 1 ∣ 3 a − b = 1 + − 7 b = − 14 b = 2 a − 3 b = − 5 a − 3 ( 2 ) = − 5 a − 6 = − 5 a = 1 selanjutnya tentukan panjang jari-jari lingkaran, ( x 1 − a ) 2 + ( y 1 − b ) 2 ( − 4 − 1 ) 2 + ( 2 − 2 ) 2 ( − 5 ) 2 + 0 25 5 = = = = = r r r r r Dengan demikian, diperoleh persamaan lingkaran ( x − 1 ) 2 + ( y − 2 ) 2 = 25 Selanjutnya, untuk membuktikan kedua lingkaran saling bersinggungan, maka Jika bersinggungan luar, maka harus dibuktikan bahwa jarak antara kedua titik pusat lingkaran sama dengan jumlah dari jari-jari kedua lingkaran tersebut. J = r 1 + r 2 Jika bersinggungan dalam, maka harus dibuktikan bahwa jarak kedua pusat lingkaran adalah sama dengan selisih panjang jari-jari kedua lingkaran. J = r 1 − r 2 Ingat persamaan lingkaran x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 berpusat di ( − 2 A , − 2 B ) dan berjari-jari r = 4 A 2 + 4 B 2 − C . Berdasarkan rumus tersebut, maka pusat dan jari-jari persamaan lingkaran x 2 + y 2 − 2 x + 4 y + 4 = 0 adalah P ( − 2 A , − 2 B ) r = = = = = P ( − 2 − 2 . − 2 4 ) P ( 1 , − 2 ) 4 ( − 2 ) 2 + 4 4 2 − 4 1 + 4 − 4 1 Jarak titik pusat kedua lingkaran adalah J = = = = ( a 1 − a 2 ) 2 + ( b 1 − b 2 ) 2 ( 1 − 1 ) 2 + ( 2 − ( − 2 ) ) 2 0 + 4 2 4 Dalam hal ini, diperoleh J 4 4 = = = r 1 − r 2 5 − 1 4 Dengan demikian, terbukti bahwa kedua lingkaran saling bersinggungan.

Ingat persamaan umum lingkaran yang berpusat di $(a, b)$ dan berjari-jari $r$ sebagai berikut.

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$

Diketahui lingkaran melalui titik $(- 4, 2) dan (- 3, - 1)$ , dengan mensubstitusikan titik tersebut ke persamaan lingkaran, diperoleh persamaan

$(x_{1} - a)^{2} + (y_{1} - b)^{2} (- 4 - a)^{2} + (2 - b)^{2} a^{2} + 8 a + 16 + b^{2} - 4 b + 4 2 a - 6 b a - 3 b = = = = = (x_{2} - a)^{2} + (y_{2} - b)^{2} (- 3 - a)^{2} + (- 1 - b)^{2} a^{2} + 6 a + 9 + b^{2} + 2 b + 1 - 10 - 5... (1)$

Diketahui titik pusat lingkaran berada pada garis $3 x - y = 1$ , dengan mensubstitusikan titik pusat ke persamaan garis tersebut, diperoleh persamaan $3 a - b = 1... (2)$ .

Selanjutnya, lakukan metode eliminasi-substitusi pada persamaan (1) dan (2):

$a - 3 b = - 5 ∣ \times 3 ∣ 3 a - 6 b = - 15 \underline{3 a - b = 1 ∣ \times 1 ∣ 3 a - b = 1_{+}} - 7 b = - 14 b = 2 a - 3 b = - 5 a - 3 (2) = - 5 a - 6 = - 5 a = 1$

selanjutnya tentukan panjang jari-jari lingkaran,

$(x_{1} - a)^{2} + (y_{1} - b)^{2} (- 4 - 1)^{2} + (2 - 2)^{2} (- 5)^{2} + 0 255 = = = = = r r r r r$

Dengan demikian, diperoleh persamaan lingkaran

$(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 25$

Selanjutnya, untuk membuktikan kedua lingkaran saling bersinggungan, maka

Jika bersinggungan luar, maka harus dibuktikan bahwa jarak antara kedua titik pusat lingkaran sama dengan jumlah dari jari-jari kedua lingkaran tersebut. $J = r_{1} + r_{2}$
Jika bersinggungan dalam, maka harus dibuktikan bahwa jarak kedua pusat lingkaran adalah sama dengan selisih panjang jari-jari kedua lingkaran. $J = r_{1} - r_{2}$

Ingat persamaan lingkaran $x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$ berpusat di $(- \frac{A}{2}, - \frac{B}{2})$ dan berjari-jari $r = \frac{A ^{2}}{4} + \frac{B ^{2}}{4} - C$ .

Berdasarkan rumus tersebut, maka pusat dan jari-jari persamaan lingkaran $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + 4 = 0$ adalah

$P (- \frac{A}{2}, - \frac{B}{2}) r = = = = = P (- \frac{- 2}{2} . - \frac{4}{2}) P (1, - 2) \frac{( - 2 ) ^{2}}{4} + \frac{4 ^{2}}{4} - 4 1 + 4 - 4 1$

Jarak titik pusat kedua lingkaran adalah

$J = = = = (a_{1} - a_{2})^{2} + (b_{1} - b_{2})^{2} (1 - 1)^{2} + (2 - (- 2))^{2} 0 + 4^{2} 4$

Dalam hal ini, diperoleh

$J 44 = = = r_{1} - r_{2} 5 - 1 4$

Dengan demikian, terbukti bahwa kedua lingkaran saling bersinggungan.

Buka akses jawaban yang telah terverifikasi

Yah, akses pembahasan gratismu habis

atau

Dapatkan jawaban pertanyaanmu di AiRIS. Langsung dijawab oleh bestie pintar

Tanya Sekarang

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

3.0 (2 rating)

Pertanyaan serupa

Selidiki hubungan lingkaran lingkaran berikut L 1 = x 2 + y 2 + 2 x − 3 = 0 L 2 = x 2 + y 2 − 4 x − 8 y + 11 = 0 L 3 = ( x − 1 ) 2 + ( y − 4 ) 2 = 9 Tentukan L 2 dan L 3

5.0

Jawaban terverifikasi

Jika lingkaran-lingkaran L 1 ≡ x 2 + y 2 + 6 x + a = 0 dan L 2 ≡ x 2 + ( y + 4 ) 2 = 6 2 bersinggungan di dalam, maka nilai sama dengan ...

4.2

Jawaban terverifikasi

Jika dua lingkaran tidak sepusat dan tidak berpotongan, maka kedua lingkaran mempunyai garis singgung persekutuan sebanyak . . .

5.0

Jawaban terverifikasi

Jika lingkaran L 1 ≡ x 2 + y 2 − 10 x + 2 y + 17 = 0 dan L 2 ≡ ( x + 4 ) 2 + ( y − 11 ) 2 = 144 , maka kedua lingkaran ...

4.6

Jawaban terverifikasi

Buktikanlah bahwa lingkaran L 1 dan L 2 bersinggungan jika diketahui: b. L 1 ≡ x 2 + y 2 − 10 x − 24 y + 120 = 0 L 2 ≡ x 2 + y 2 − 400 = 0