Pertanyaan

Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik ( − 4 , 2 ) dan ( − 3 , − 1 ) dan berpusat pada garis 3 x − y = 1 . Tunjukkanlah bahwa lingkaran itu bersinggungan dengan lingkaran x 2 + y 2 − 2 x + 4 y + 4 = 0 .

Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik $(- 4, 2) dan (- 3, - 1)$ dan berpusat pada garis $3 x - y = 1$ . Tunjukkanlah bahwa lingkaran itu bersinggungan dengan lingkaran $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + 4 = 0$ .

H. Janatu

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Riau

Jawaban terverifikasi

Jawaban

terbukti bahwa kedua lingkaran saling bersinggungan.

Pembahasan

Ingat persamaan umum lingkaran yang berpusat di ( a , b ) dan berjari-jari r sebagai berikut. ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 Diketahui lingkaran melalui titik ( − 4 , 2 ) dan ( − 3 , − 1 ) , dengan mensubstitusikan titik tersebut ke persamaan lingkaran, diperoleh persamaan ( x 1 − a ) 2 + ( y 1 − b ) 2 ( − 4 − a ) 2 + ( 2 − b ) 2 a 2 + 8 a + 16 + b 2 − 4 b + 4 2 a − 6 b a − 3 b = = = = = ( x 2 − a ) 2 + ( y 2 − b ) 2 ( − 3 − a ) 2 + ( − 1 − b ) 2 a 2 + 6 a + 9 + b 2 + 2 b + 1 − 10 − 5... ( 1 ) Diketahui titik pusat lingkaran berada pada garis 3 x − y = 1 , dengan mensubstitusikan titik pusat ke persamaan garis tersebut, diperoleh persamaan 3 a − b = 1... ( 2 ) . Selanjutnya, lakukan metode eliminasi-substitusi pada persamaan (1) dan (2): a − 3 b = − 5 ∣ × 3 ∣ 3 a − 6 b = − 15 3 a − b = 1 ∣ × 1 ∣ 3 a − b = 1 + − 7 b = − 14 b = 2 a − 3 b = − 5 a − 3 ( 2 ) = − 5 a − 6 = − 5 a = 1 selanjutnya tentukan panjang jari-jari lingkaran, ( x 1 − a ) 2 + ( y 1 − b ) 2 ( − 4 − 1 ) 2 + ( 2 − 2 ) 2 ( − 5 ) 2 + 0 25 5 = = = = = r r r r r Dengan demikian, diperoleh persamaan lingkaran ( x − 1 ) 2 + ( y − 2 ) 2 = 25 Selanjutnya, untuk membuktikan kedua lingkaran saling bersinggungan, maka Jika bersinggungan luar, maka harus dibuktikan bahwa jarak antara kedua titik pusat lingkaran sama dengan jumlah dari jari-jari kedua lingkaran tersebut. J = r 1 + r 2 Jika bersinggungan dalam, maka harus dibuktikan bahwa jarak kedua pusat lingkaran adalah sama dengan selisih panjang jari-jari kedua lingkaran. J = r 1 − r 2 Ingat persamaan lingkaran x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 berpusat di ( − 2 A , − 2 B ) dan berjari-jari r = 4 A 2 + 4 B 2 − C . Berdasarkan rumus tersebut, maka pusat dan jari-jari persamaan lingkaran x 2 + y 2 − 2 x + 4 y + 4 = 0 adalah P ( − 2 A , − 2 B ) r = = = = = P ( − 2 − 2 . − 2 4 ) P ( 1 , − 2 ) 4 ( − 2 ) 2 + 4 4 2 − 4 1 + 4 − 4 1 Jarak titik pusat kedua lingkaran adalah J = = = = ( a 1 − a 2 ) 2 + ( b 1 − b 2 ) 2 ( 1 − 1 ) 2 + ( 2 − ( − 2 ) ) 2 0 + 4 2 4 Dalam hal ini, diperoleh J 4 4 = = = r 1 − r 2 5 − 1 4 Dengan demikian, terbukti bahwa kedua lingkaran saling bersinggungan.

Ingat persamaan umum lingkaran yang berpusat di $(a, b)$ dan berjari-jari $r$ sebagai berikut.

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$

Diketahui lingkaran melalui titik $(- 4, 2) dan (- 3, - 1)$ , dengan mensubstitusikan titik tersebut ke persamaan lingkaran, diperoleh persamaan

$(x_{1} - a)^{2} + (y_{1} - b)^{2} (- 4 - a)^{2} + (2 - b)^{2} a^{2} + 8 a + 16 + b^{2} - 4 b + 4 2 a - 6 b a - 3 b = = = = = (x_{2} - a)^{2} + (y_{2} - b)^{2} (- 3 - a)^{2} + (- 1 - b)^{2} a^{2} + 6 a + 9 + b^{2} + 2 b + 1 - 10 - 5... (1)$

Diketahui titik pusat lingkaran berada pada garis $3 x - y = 1$ , dengan mensubstitusikan titik pusat ke persamaan garis tersebut, diperoleh persamaan $3 a - b = 1... (2)$ .

Selanjutnya, lakukan metode eliminasi-substitusi pada persamaan (1) dan (2):

$a - 3 b = - 5 ∣ \times 3 ∣ 3 a - 6 b = - 15 \underline{3 a - b = 1 ∣ \times 1 ∣ 3 a - b = 1_{+}} - 7 b = - 14 b = 2 a - 3 b = - 5 a - 3 (2) = - 5 a - 6 = - 5 a = 1$

selanjutnya tentukan panjang jari-jari lingkaran,

$(x_{1} - a)^{2} + (y_{1} - b)^{2} (- 4 - 1)^{2} + (2 - 2)^{2} (- 5)^{2} + 0 255 = = = = = r r r r r$

Dengan demikian, diperoleh persamaan lingkaran

$(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 25$

Selanjutnya, untuk membuktikan kedua lingkaran saling bersinggungan, maka

Jika bersinggungan luar, maka harus dibuktikan bahwa jarak antara kedua titik pusat lingkaran sama dengan jumlah dari jari-jari kedua lingkaran tersebut. $J = r_{1} + r_{2}$
Jika bersinggungan dalam, maka harus dibuktikan bahwa jarak kedua pusat lingkaran adalah sama dengan selisih panjang jari-jari kedua lingkaran. $J = r_{1} - r_{2}$

Ingat persamaan lingkaran $x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$ berpusat di $(- \frac{A}{2}, - \frac{B}{2})$ dan berjari-jari $r = \frac{A ^{2}}{4} + \frac{B ^{2}}{4} - C$ .

Berdasarkan rumus tersebut, maka pusat dan jari-jari persamaan lingkaran $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + 4 = 0$ adalah

$P (- \frac{A}{2}, - \frac{B}{2}) r = = = = = P (- \frac{- 2}{2} . - \frac{4}{2}) P (1, - 2) \frac{( - 2 ) ^{2}}{4} + \frac{4 ^{2}}{4} - 4 1 + 4 - 4 1$

Jarak titik pusat kedua lingkaran adalah

$J = = = = (a_{1} - a_{2})^{2} + (b_{1} - b_{2})^{2} (1 - 1)^{2} + (2 - (- 2))^{2} 0 + 4^{2} 4$

Dalam hal ini, diperoleh

$J 44 = = = r_{1} - r_{2} 5 - 1 4$

Dengan demikian, terbukti bahwa kedua lingkaran saling bersinggungan.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

3.0 (2 rating)

Pertanyaan serupa

Jika lingkaran L 1 ≡ x 2 + y 2 − 10 x + 2 y + 17 = 0 dan L 2 ≡ ( x + 4 ) 2 + ( y − 11 ) 2 = 144 , maka kedua lingkaran ...

4.6

Jawaban terverifikasi

Jika dua lingkaran tidak sepusat dan tidak berpotongan, maka kedua lingkaran mempunyai garis singgung persekutuan sebanyak . . .

5.0

Jawaban terverifikasi

Selidiki hubungan lingkaran lingkaran berikut L 1 = x 2 + y 2 + 2 x − 3 = 0 L 2 = x 2 + y 2 − 4 x − 8 y + 11 = 0 L 3 = ( x − 1 ) 2 + ( y − 4 ) 2 = 9 Tentukan L 2 dan L 3

5.0

Jawaban terverifikasi

Jika lingkaran-lingkaran L 1 ≡ x 2 + y 2 + 6 x + a = 0 dan L 2 ≡ x 2 + ( y + 4 ) 2 = 6 2 bersinggungan di dalam, maka nilai sama dengan ...

4.2

Jawaban terverifikasi

Perhatikan gambar berikut! Lingkaran berwarna merah memiliki persamaan x 2 + y 2 − 4 x − 4 y + 4 = 0 . Jika lingkaran merah menyinggung pusat lingkaran berwarna biru, maka persamaan lingkaran bi...

0.0

Jawaban terverifikasi