Pertanyaan

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran dari titik di luar lingkaran yang diketahui berikut b. x 2 + y 2 − 4 x + 6 y − 12 = 0 ; ( 1 , 4 )

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran dari titik di luar lingkaran yang diketahui berikut

b. $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - 12 = 0$ ; $(1, 4)$

8 dari 10 siswa nilainya naik

dengan paket belajar pilihan

Habis dalam

Klaim

E. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret

Jawaban terverifikasi

Jawaban

didapat persamaan garis singgung lingkarannya adalah 3 x + 4 y − 19 = 0 atau 4 x − 3 y + 8 = 0 .

didapat persamaan garis singgung lingkarannya adalah

3 x + 4 y - 19 = 0

atau

4 x - 3 y + 8 = 0

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah 3 x + 4 y − 19 = 0 atau 4 x − 3 y + 8 = 0 . Ingat! Persamaan lingkaran x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 memiliki titik pusat ( a , b ) = ( − 2 A , − 2 B ) dan jari - jari r = a 2 + b 2 − C . Titik ( x 1 , y 1 ) berada di luar lingkaran jika x 1 2 + y 1 2 + A x 1 + B y 1 + C > 0 . Persamaan garis singgung lingkaran dengan titik pusat ( a , b ) , jari - jari ( r ) , dan bergradien m adalah y − b = m ( x − a ) ± r m 2 + 1 . Persamaan garis yang melalui titik ( x 1 , y 1 ) dan bergradien m adalah y − y 1 = m ( x − x 1 ) . Uji titik ( 1 , 4 ) terhadap lingkaran x 2 + y 2 − 4 x + 6 y − 12 = 0 . x 2 + y 2 − 4 x + 6 y − 12 = = = ( 1 ) 2 + ( 4 ) 2 − 4 ( 1 ) + 6 ( 4 ) − 12 1 + 16 − 4 + 24 − 12 25 karena x 1 2 + y 1 2 + A x 1 + B y 1 + C > 0 maka titik berada di luar lingkaran. Pada lingkaran x 2 + y 2 − 4 x + 6 y − 12 = 0 memiliki titik pusat ( a , b ) = = = ( − 2 A , − 2 B ) ( − 2 ( − 4 ) , − 2 6 ) ( 2 , − 3 ) dan jari - jari r r r r r = = = = = a 2 + b 2 − C ( 2 ) 2 + ( − 3 ) 2 − ( − 12 ) 4 + 9 + 12 25 5 Persamaan garis singgung pada lingkaran x 2 + y 2 − 4 x + 6 y − 12 = 0 dengan titik pusat ( 2 , − 3 ) , jari - jari r = 5 , danbergradien m , serta melalui ( 1 , 4 ) adalah y − b ( 4 ) − ( − 3 ) 4 + 3 7 + m ( 7 + m ) 2 49 + 14 m + m 2 0 0 0 12 m 2 − 7 m − 12 ( 4 m + 3 ) ( 3 m − 4 ) = = = = = = = = = = = m ( x − a ) ± r m 2 + 1 m ( ( 1 ) − ( 2 ) ) ± ( 5 ) m 2 + 1 m ( − 1 ) ± 5 m 2 + 1 ± 5 m 2 + 1 ( ± 5 m 2 + 1 ) 2 25 ( m 2 + 1 ) 25 m 2 + 25 − m 2 − 14 m − 49 24 m 2 − 14 m − 24 12 m 2 − 7 m − 12 0 0 Jadi, untuk 4 m + 3 = 0 diperoleh 4 m + 3 4 m m = = = 0 − 3 − 4 3 Dan untuk 3 m − 4 = 0 diperoleh 3 m − 4 3 m m = = = 0 4 3 4 Persamaan garis singgung untuk m = − 4 3 dan melalui titik ( 1 , 4 ) adalah y − y 1 y − 4 4 ( y − 4 ) 4 y − 16 3 x + 4 y − 16 − 3 3 x + 4 y − 19 = = = = = = m ( x − x 1 ) − 4 3 ( x − 1 ) − 3 ( x − 1 ) − 3 x + 3 0 0 danpersamaan garis singgung untuk m = 3 4 dan melalui titik ( 1 , 4 ) adalah y − y 1 y − 4 3 ( y − 4 ) 3 y − 12 3 y − 12 − 4 x + 4 − 4 x + 3 y − 8 4 x − 3 y + 8 = = = = = = = m ( x − x 1 ) 3 4 ( x − 1 ) 4 ( x − 1 ) 4 x − 4 0 0 0 Dengan demikian, didapat persamaan garis singgung lingkarannya adalah 3 x + 4 y − 19 = 0 atau 4 x − 3 y + 8 = 0 .

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah $3 x + 4 y - 19 = 0$ atau $4 x - 3 y + 8 = 0$ .

Ingat!

Persamaan lingkaran $x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$ memiliki titik pusat $(a, b) = (- \frac{A}{2}, - \frac{B}{2})$ dan jari - jari $r = a^{2} + b^{2} - C$ .

Titik $(x_{1}, y_{1})$ berada di luar lingkaran jika $x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + A x_{1} + B y_{1} + C > 0$ .

Persamaan garis singgung lingkaran dengan titik pusat $(a, b)$ , jari - jari $(r)$ , dan bergradien $m$ adalah

$y - b = m (x - a) \pm r m^{2} + 1$ .

Persamaan garis yang melalui titik $(x_{1}, y_{1})$ dan bergradien $m$ adalah

$y - y_{1} = m (x - x_{1})$ .

Uji titik $(1, 4)$ terhadap lingkaran $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - 12 = 0$ .

$x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - 12 = = = (1)^{2} + (4)^{2} - 4 (1) + 6 (4) - 12 1 + 16 - 4 + 24 - 12 25$

karena $x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + A x_{1} + B y_{1} + C > 0$ maka titik berada di luar lingkaran.

Pada lingkaran $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - 12 = 0$ memiliki titik pusat

$(a, b) = = = (- \frac{A}{2}, - \frac{B}{2}) (- \frac{( - 4 )}{2}, - \frac{6}{2}) (2, - 3)$

dan jari - jari

$r r r r r = = = = = a^{2} + b^{2} - C (2)^{2} + (- 3)^{2} - (- 12) 4 + 9 + 12 255$

Persamaan garis singgung pada lingkaran $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - 12 = 0$ dengan titik pusat $(2, - 3)$ , jari - jari $r = 5$ , dan bergradien $m$ , serta melalui $(1, 4)$ adalah

$y - b (4) - (- 3) 4 + 3 7 + m (7 + m)^{2} 49 + 14 m + m^{2} 000 12 m^{2} - 7 m - 12 (4 m + 3) (3 m - 4) = = = = = = = = = = = m (x - a) \pm r m^{2} + 1 m ((1) - (2)) \pm (5) m^{2} + 1 m (- 1) \pm 5 m^{2} + 1 \pm 5 m^{2} + 1 (\pm 5 m^{2} + 1)^{2} 25 (m^{2} + 1) 25 m^{2} + 25 - m^{2} - 14 m - 49 24 m^{2} - 14 m - 24 12 m^{2} - 7 m - 12 00$

Jadi, untuk $4 m + 3 = 0$ diperoleh

$4 m + 3 4 m m = = = 0 - 3 - \frac{3}{4}$

Dan untuk $3 m - 4 = 0$ diperoleh

$3 m - 4 3 m m = = = 04 \frac{4}{3}$

Persamaan garis singgung untuk $m = - \frac{3}{4}$ dan melalui titik $(1, 4)$ adalah

$y - y_{1} y - 4 4 (y - 4) 4 y - 16 3 x + 4 y - 16 - 3 3 x + 4 y - 19 = = = = = = m (x - x_{1}) - \frac{3}{4} (x - 1) - 3 (x - 1) - 3 x + 3 00$

dan persamaan garis singgung untuk $m = \frac{4}{3}$ dan melalui titik $(1, 4)$ adalah

$y - y_{1} y - 4 3 (y - 4) 3 y - 12 3 y - 12 - 4 x + 4 - 4 x + 3 y - 8 4 x - 3 y + 8 = = = = = = = m (x - x_{1}) \frac{4}{3} (x - 1) 4 (x - 1) 4 x - 4 000$