Pertanyaan

Jika garis g merupakan garis singgung yang melalui titik A ( 3 , − 4 ) pada lingkaran L ≡ 25 − x 2 − y 2 = 0 , maka salah satu garis singgung pada lingkaran L ≡ x 2 + y 2 − 2 x + 4 y + 4 = 0 yang sejajar garis g adalah . . . .

Jika garis $g$ merupakan garis singgung yang melalui titik $A (3, - 4)$ pada lingkaran $L \equiv 25 - x^{2} - y^{2} = 0$ , maka salah satu garis singgung pada lingkaran $L \equiv x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + 4 = 0$ yang sejajar garis $g$ adalah . . . .

$3 x - 4 y + 16 = 0$
$3 x - 4 y - 16 = 0$
$3 x + 4 y - 16 = 0$
$4 x - 3 y - 6 = 0$
$4 x - 3 y + 6 = 0$

E. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah B.

Pembahasan

Ingat bahwa, -persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y 2 = r 2 pada titik ( x 1 , y 1 ) adalah: x 1 ⋅ x + y 1 ⋅ y = r 2 -persamaan garis singgung lingakaran x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 dengan gradien m adalah y + 2 B = m ( x + 2 A ) ± r m 2 + 1 -dan rumus jari-jari: r = ( 2 A ) 2 + ( 2 B ) 2 − C Pada soal diketahui bahwa: x 2 + y 2 − 2 x + 4 y + 4 = 0 A = − 2 , B = 4 , C = 4 r r = = = = = ( 2 A ) 2 + ( 2 B ) 2 − C ( 2 − 2 ) 2 + ( 2 4 ) 2 − 4 1 + 4 − 4 1 1 Pertama kita tentukan persamaan garis singgung dan gradien garis g : x 1 ⋅ x + y 1 ⋅ y 3 ⋅ x + ( − 4 ) ⋅ y 3 x − 4 y 4 y y = = = = = → r 2 25 25 3 x − 25 4 3 x − 4 25 m = 4 3 Karena persamaan garis singgungnya sejajar garis g , maka m 1 = m 2 = 4 3 , sehingga diperoleh persamaan garis singgungnya: y + 2 B y + 2 4 y + 2 y + 2 y + 2 4 y + 8 0 0 0 0 0 = = = = = = = = = = = m ( x + 2 A ) ± r m 2 + 1 ( 2 3 ) ( x + 2 − 2 ) ± 1 ( 2 3 ) 2 + 1 ( 4 3 ) ( x − 1 ) ± 1 16 9 + 1 ( 4 3 ) ( x − 1 ) ± 1 16 9 + 16 4 3 x − 4 3 ± 4 5 3 x − 3 ± 5 3 x − 4 y − 8 − 3 ± 5 3 x − 4 y − 11 ± 5 3 x − 4 y − 6 dan 3 x − 4 y − 11 − 5 3 x − 4 y − 16 Dengan demikian, persamaan garis singgungnya adalah 0 = 3 x − 4 y − 6 dan 0 = 3 x − 4 y − 16 Oleh karena itu, jawaban yang tepat adalah B.

Ingat bahwa,

-persamaan garis singgung lingkaran $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ pada titik $(x_{1}, y_{1})$ adalah:

$x_{1} \cdot x + y_{1} \cdot y = r^{2}$

-persamaan garis singgung lingakaran $x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$ dengan gradien $m$ adalah

$y + \frac{B}{2} = m (x + \frac{A}{2}) \pm r m^{2} + 1$

-dan rumus jari-jari:

$r = (\frac{A}{2})^{2} + (\frac{B}{2})^{2} - C$

Pada soal diketahui bahwa:

$x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + 4 = 0 A = - 2, B = 4, C = 4$

$r r = = = = = (\frac{A}{2})^{2} + (\frac{B}{2})^{2} - C (\frac{- 2}{2})^{2} + (\frac{4}{2})^{2} - 4 1 + 4 - 4 11$

Pertama kita tentukan persamaan garis singgung dan gradien garis $g$ :

$x_{1} \cdot x + y_{1} \cdot y 3 \cdot x + (- 4) \cdot y 3 x - 4 y 4 y y = = = = = \to r^{2} 2525 3 x - 25 \frac{3}{4} x - \frac{25}{4} m = \frac{3}{4}$

Karena persamaan garis singgungnya sejajar garis $g$ , maka $m_{1} = m_{2} = \frac{3}{4}$ , sehingga diperoleh persamaan garis singgungnya:

$y + \frac{B}{2} y + \frac{4}{2} y + 2 y + 2 y + 2 4 y + 8 00000 = = = = = = = = = = = m (x + \frac{A}{2}) \pm r m^{2} + 1 (\frac{3}{2}) (x + \frac{- 2}{2}) \pm 1 (\frac{3}{2})^{2} + 1 (\frac{3}{4}) (x - 1) \pm 1 \frac{9}{16} + 1 (\frac{3}{4}) (x - 1) \pm 1 \frac{9 + 16}{16} \frac{3}{4} x - \frac{3}{4} \pm \frac{5}{4} 3 x - 3 \pm 5 3 x - 4 y - 8 - 3 \pm 5 3 x - 4 y - 11 \pm 5 3 x - 4 y - 6 dan 3 x - 4 y - 11 - 5 3 x - 4 y - 16$