Pertanyaan

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran dan titik yang diketahui berikut. a. x 2 + y 2 + 6 x − 4 y − 45 = 0 ; ( 4 , − 1 )

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran dan titik yang diketahui berikut.

a. $x^{2} + y^{2} + 6 x - 4 y - 45 = 0; (4, - 1)$

E. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret

Jawaban terverifikasi

Jawaban

didapat persamaan garis singgungnya adalah 7 x − 3 y − 31 = 0 .

didapat persamaan garis singgungnya adalah

7 x - 3 y - 31 = 0

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah persamaan garis singgungnya 7 x − 3 y − 31 = 0 . Ingat! Titik ( x 1 , y 1 ) berada pada lingkaran x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 jika memenuhi ( x 1 ) 2 + ( y 1 ) 2 + A ( x 1 ) + B ( y 1 ) + C = 0 dan persamaan garis singgung pada lingkaran x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 di titik ( x 1 , y 1 ) adalah x 1 x + y 1 y + A ( 2 x 1 + x ) + B ( 2 y 1 + y ) + C = 0 . Pertama kita tunjukkan titik terletak pada lingkaran. Substitusi titik ( 4 , − 1 ) ke persamaan lingkaran x 2 + y 2 + 6 x − 4 y − 45 = 0 x 2 + y 2 + 6 x − 4 y − 45 = = = ( 4 ) 2 + ( − 1 ) 2 + 6 ( 4 ) − 4 ( − 1 ) − 45 16 + 1 + 24 + 4 − 45 0 Karena didapat hasil ( x 1 ) 2 + ( y 1 ) 2 + A ( x 1 ) + B ( y 1 ) + C = 0 makatitik terletak pada lingkaran. Persamaan garis singgung lingkarannya adalah x 1 x + y 1 y + A ( 2 x 1 + x ) + B ( 2 y 1 + y ) + C = 0 jadi diperoleh x 1 x + y 1 y + A ( 2 x 1 + x ) + B ( 2 y 1 + y ) + C ( 4 ) x + ( − 1 ) y + 6 ( 2 4 + x ) − 4 ( 2 ( − 1 ) + y ) − 45 4 x − y + 3 ( 4 + x ) − 2 ( − 1 + y ) − 45 4 x − y + 12 + 3 x + 2 − 2 y − 45 7 x − 3 y − 31 = = = = = 0 0 0 0 0 Dengan demikian, didapat persamaan garis singgungnya adalah 7 x − 3 y − 31 = 0 .

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah persamaan garis singgungnya $7 x - 3 y - 31 = 0$ .

Ingat!

Titik $(x_{1}, y_{1})$ berada pada lingkaran $x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$ jika memenuhi $(x_{1})^{2} + (y_{1})^{2} + A (x_{1}) + B (y_{1}) + C = 0$ dan persamaan garis singgung pada lingkaran $x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$ di titik $(x_{1}, y_{1})$ adalah $x_{1} x + y_{1} y + A (\frac{x _{1} + x}{2}) + B (\frac{y _{1} + y}{2}) + C = 0$ .

Pertama kita tunjukkan titik terletak pada lingkaran.

Substitusi titik $(4, - 1)$ ke persamaan lingkaran $x^{2} + y^{2} + 6 x - 4 y - 45 = 0$

$x^{2} + y^{2} + 6 x - 4 y - 45 = = = (4)^{2} + (- 1)^{2} + 6 (4) - 4 (- 1) - 45 16 + 1 + 24 + 4 - 45 0$

Karena didapat hasil $(x_{1})^{2} + (y_{1})^{2} + A (x_{1}) + B (y_{1}) + C = 0$ maka titik terletak pada lingkaran.

Persamaan garis singgung lingkarannya adalah $x_{1} x + y_{1} y + A (\frac{x _{1} + x}{2}) + B (\frac{y _{1} + y}{2}) + C = 0$ jadi diperoleh

$x_{1} x + y_{1} y + A (\frac{x _{1} + x}{2}) + B (\frac{y _{1} + y}{2}) + C (4) x + (- 1) y + 6 (\frac{4 + x}{2}) - 4 (\frac{( - 1 ) + y}{2}) - 45 4 x - y + 3 (4 + x) - 2 (- 1 + y) - 45 4 x - y + 12 + 3 x + 2 - 2 y - 45 7 x - 3 y - 31 = = = = = 00000$