Pertanyaan

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y 2 = 25 yang tegak lurus garis 4 x − 3 y = 6 .

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^{2} + y^{2} = 25$ yang tegak lurus garis $4 x - 3 y = 6$ .

D. Firmansyah

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Ingat persamaan garis singgung jika diketahui persamaan lingkaran x 2 + y 2 = r 2 dan memiliki gradien m adalah. y = m x ± r m 2 + 1 dan ingat pada persamaan garis a x + b y = c maka gradiennya bisa di cari dengan m = − b a . Sertaketika 2 garis bergradien m 1 dan m 2 saling tegak lurus maka berlaku m 1 ⋅ m 2 = − 1 . Sehingga, pada persamaan lingkaran x 2 + y 2 = 25 , maka diketahui. r 2 r = = 25 5 Pada garis 4 x − 3 y = 6 memiliki gradien m 1 = − ( − 3 ) 4 = 3 4 . Karena yang akan di cari adalah persamaan garis singgung yang tegak lurus maka m 1 ⋅ m 2 ( 3 4 ) ⋅ m 2 m 2 m 2 = = = = − 1 − 1 − 1 ⋅ ( 4 3 ) − 4 3 Sehinggapersamaan garis singgungnya. y y y y y y y 4 y 3 x + 4 y = = = = = = = = = m 2 x ± r m 2 2 + 1 ( − 4 3 ) x ± ( 5 ) ( − 4 3 ) 2 + 1 − 4 3 x ± 5 16 9 + 1 − 4 3 x ± 5 16 9 + 16 16 − 4 3 x ± 5 16 25 − 4 3 x ± 5 ⋅ ( 4 5 ) − 4 3 x ± 4 25 − 3 x ± 25 ± 25 Dengan demikian, didapat persamaan garis singgungnya adalah 3 x + 4 y = 25 atau 3 x + 4 y = − 25 .

Ingat persamaan garis singgung jika diketahui persamaan lingkaran $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ dan memiliki gradien $m$ adalah.

$y = m x \pm r m^{2} + 1$

dan ingat pada persamaan garis $a x + b y = c$ maka gradiennya bisa di cari dengan $m = - \frac{a}{b}$ . Serta ketika $2$ garis bergradien $m_{1}$ dan $m_{2}$ saling tegak lurus maka berlaku $m_{1} \cdot m_{2} = - 1$ .

Sehingga, pada persamaan lingkaran $x^{2} + y^{2} = 25$ , maka diketahui.

$r^{2} r = = 255$

Pada garis $4 x - 3 y = 6$ memiliki gradien $m_{1} = - \frac{4}{( - 3 )} = \frac{4}{3}$ .

Karena yang akan di cari adalah persamaan garis singgung yang tegak lurus maka

$m_{1} \cdot m_{2} (\frac{4}{3}) \cdot m_{2} m_{2} m_{2} = = = = - 1 - 1 - 1 \cdot (\frac{3}{4}) - \frac{3}{4}$

Sehingga persamaan garis singgungnya.

$y y y y y y y 4 y 3 x + 4 y = = = = = = = = = m_{2} x \pm r m_{2}^{2} + 1 (- \frac{3}{4}) x \pm (5) (- \frac{3}{4})^{2} + 1 - \frac{3}{4} x \pm 5 \frac{9}{16} + 1 - \frac{3}{4} x \pm 5 \frac{9}{16} + \frac{16}{16} - \frac{3}{4} x \pm 5 \frac{25}{16} - \frac{3}{4} x \pm 5 \cdot (\frac{5}{4}) - \frac{3}{4} x \pm \frac{25}{4} - 3 x \pm 25 \pm 25$