Pertanyaan

Tentukan persamaan garis singgung ( g )lingkaran jika diketahui unsur-unsur sebagaiberikut: f. L ≡ ( x − 1 ) 2 + ( y − 3 ) 2 = 25 , jika g tegak lurus garis 5 x + 12 y − 7 = 0

Tentukan persamaan garis singgung ( $g$ ) lingkaran jika diketahui unsur-unsur sebagai berikut:

f. $L \equiv (x - 1)^{2} + (y - 3)^{2} = 25$ , jika $g$ tegak lurus garis $5 x + 12 y - 7 = 0$

D. Rajib

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Muhammadiyah Malang

Jawaban terverifikasi

Jawaban

persamaan garis g tersebut adalah 12 x − 5 y + 34 = 0 atau 12 x − 5 y − 96 = 0 .

persamaan garis

g

tersebut adalah

12 x - 5 y + 34 = 0

atau

12 x - 5 y - 96 = 0

Pembahasan

Ingat persamaan garis lurus yang menyinggung lingkaran ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 bergradien m berikut: y − b = m ( x − a ) ± r 1 + m 2 Jika garis g 1 tegak lurusdengan g 2 , maka m 2 = − m 1 1 . Diketahui: persamaan lingkaran L ≡ ( x − 1 ) 2 + ( y − 3 ) 2 = 25 , sejajar garis 5 x + 12 y − 7 = 0 ⇔ y = − 12 5 x + 12 7 . Berdasarkan persamaan dan informasi di atas, maka persoalan tersebut dapat diselesaikan sebagai berikut: Gradien garis g tegak lurus garis 5 x + 12 y − 7 = 0 adalah m 2 = − m 1 1 = 5 12 . Jari-jari lingkaran r = 25 = 5 . Sehingga persamaan garis g tersebut adalah sebagai berikut: y − 1 y − 1 y y 5 y = = = = = 5 12 ( x − 3 ) ± 5 1 + ( 5 12 ) 2 5 12 x − 5 36 ± 5 25 25 + 25 144 5 12 x − 5 36 + 5 5 ± 5 25 169 5 12 x − 5 31 + 5 65 12 x − 31 ± 65 Dengan demikian, persamaan garis g tersebut adalah 12 x − 5 y + 34 = 0 atau 12 x − 5 y − 96 = 0 .

Ingat persamaan garis lurus yang menyinggung lingkaran $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ bergradien $m$ berikut:

$y - b = m (x - a) \pm r 1 + m^{2}$

Jika garis $g_{1}$ tegak lurus dengan $g_{2}$ , maka $m_{2} = - \frac{1}{m _{1}}$ .

Diketahui:

persamaan lingkaran $L \equiv (x - 1)^{2} + (y - 3)^{2} = 25$ ,
sejajar garis $5 x + 12 y - 7 = 0 \Leftrightarrow y = - \frac{5}{12} x + \frac{7}{12}$ .

Berdasarkan persamaan dan informasi di atas, maka persoalan tersebut dapat diselesaikan sebagai berikut:

Gradien garis $g$ tegak lurus garis $5 x + 12 y - 7 = 0$ adalah $m_{2} = - \frac{1}{m _{1}} = \frac{12}{5}$ .

Jari-jari lingkaran $r = 25 = 5$ .

Sehingga persamaan garis $g$ tersebut adalah sebagai berikut:

$y - 1 y - 1 y y 5 y = = = = = \frac{12}{5} (x - 3) \pm 5 1 + (\frac{12}{5})^{2} \frac{12}{5} x - \frac{36}{5} \pm 5 \frac{25}{25} + \frac{144}{25} \frac{12}{5} x - \frac{36}{5} + \frac{5}{5} \pm 5 \frac{169}{25} \frac{12}{5} x - \frac{31}{5} + \frac{65}{5} 12 x - 31 \pm 65$