Pertanyaan

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y 2 = 20 di titik ( 6 , − 2 ) .

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^{2} + y^{2} = 20$ di titik $(6, - 2)$ .

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

P. Anggrayni

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

persamaan garis singgung lingkaran di titik adalah atau .

persamaan garis singgung lingkaran

di titik

open parentheses 6 comma space minus 2 close parentheses

adalah

atau

Pembahasan

Pertama, akan kita tentukan posisi titik terhadap lingkaran . Perhatikan bahwa saat kita mensubstitusikan ke persamaan nilai kuasa diperoleh Karena , maka titik berada di luar lingkaran . Oleh karena itu, misalkan persamaan garis singgung yang melalui titik tersebut adalah . Substitusikan titik ke persamaan (1) sehingga diperoleh Selanjutnya substitusikan persamaan (2) ke persamaan (1) dan diperoleh Substitusikan persamaan (3) ke persamaan lingkaran , sehingga Karena garis dan lingkaran saling bersinggungan, maka nilai diskriminannya sudah pasti nol. Oleh karena itu dan diperoleh Jika nilai disubstitusikan ke persamaan (2) diperoleh sehingga persamaan garis singgung yang pertama adalah . Dan jika nilai disubstitusikan ke persamaan (2) diperoleh sehingga persamaan garis singgung yang pertama adalah . Dengan demikian, persamaan garis singgung lingkaran di titik adalah atau .

Pertama, akan kita tentukan posisi titik open parentheses 6 comma space minus 2 close parentheses terhadap lingkaran straight x squared plus straight y squared equals 20 .

Perhatikan bahwa saat kita mensubstitusikan open parentheses 6 comma space minus 2 close parentheses ke persamaan nilai kuasa straight K equals straight x squared plus straight y squared diperoleh

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row straight K equals cell 6 squared plus open parentheses negative 2 close parentheses squared end cell row blank equals cell 36 plus 4 end cell row blank equals 40 end table

Karena straight K greater than r squared , maka titik open parentheses 6 comma space minus 2 close parentheses berada di luar lingkaran straight x squared plus straight y squared equals 20 .

Oleh karena itu, misalkan persamaan garis singgung yang melalui titik tersebut adalah

y equals m x plus c number space number space number space number space number space horizontal ellipsis open parentheses 1 close parentheses .

Substitusikan titik open parentheses 6 comma space minus 2 close parentheses ke persamaan (1) sehingga diperoleh

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell negative 2 end cell equals cell 6 m plus c end cell row cell negative 2 minus 6 m end cell equals cell c number space number space number space number space number space horizontal ellipsis open parentheses 2 close parentheses end cell end table

Selanjutnya substitusikan persamaan (2) ke persamaan (1) dan diperoleh

y equals m x plus left parenthesis negative 2 minus 6 m right parenthesis number space number space number space number space horizontal ellipsis left parenthesis 3 right parenthesis

Substitusikan persamaan (3) ke persamaan lingkaran straight x squared plus straight y squared equals 20 , sehingga

Karena garis dan lingkaran saling bersinggungan, maka nilai diskriminannya sudah pasti nol. Oleh karena itu

$begin mathsize 12px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row D equals cell b squared minus 4 a c end cell row 0 equals cell open square brackets 4 m open parentheses 1 plus 3 m close parentheses close square brackets squared minus 4 times open parentheses 1 plus m squared close parentheses times open square brackets 4 open parentheses negative 4 plus 6 m plus 9 m squared close parentheses close square brackets end cell row 0 equals cell 16 m squared open parentheses 1 plus 6 m plus 9 m squared close parentheses minus 16 open parentheses 1 plus m squared close parentheses open parentheses negative 4 plus 6 m plus 9 m squared close parentheses end cell row cell 0 over 16 end cell equals cell fraction numerator up diagonal strike 16 to the power of 1 m squared open parentheses 1 plus 6 m plus 9 m squared close parentheses minus up diagonal strike 16 to the power of 1 open parentheses 1 plus m squared close parentheses open parentheses negative 4 plus 6 m plus 9 m squared close parentheses over denominator up diagonal strike 16 to the power of 1 end fraction end cell row 0 equals cell m squared open parentheses 1 plus 6 m plus 9 m squared close parentheses plus open parentheses negative 1 minus m squared close parentheses open parentheses negative 4 plus 6 m plus 9 m squared close parentheses end cell row 0 equals cell m squared plus 6 m cubed plus 9 m to the power of 4 plus 4 minus 6 m minus 9 m squared plus 4 m squared minus 6 m cubed minus 9 m to the power of 4 end cell row 0 equals cell negative 4 m squared minus 6 m plus 4 end cell row 0 equals cell negative 2 open parentheses 2 m squared plus 3 m minus 2 close parentheses end cell row cell fraction numerator 0 over denominator negative 2 end fraction end cell equals cell fraction numerator negative 2 open parentheses m plus 2 close parentheses open parentheses 2 m minus 1 close parentheses over denominator negative 2 end fraction end cell row 0 equals cell open parentheses m plus 2 close parentheses open parentheses 2 m minus 1 close parentheses end cell end table end style$

dan diperoleh

table row cell m plus 2 equals 0 end cell atau cell 2 m minus 1 equals 0 end cell row cell m equals negative 2 end cell blank cell 2 m equals 1 end cell row blank blank cell m equals 1 half end cell end table

Jika nilai m equals negative 2 disubstitusikan ke persamaan (2) diperoleh

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row c equals cell negative 2 minus 6 times open parentheses negative 2 close parentheses end cell row blank equals cell negative 2 plus 12 end cell row blank equals 10 end table

sehingga persamaan garis singgung yang pertama adalah

y equals negative 2 x plus 10 .

Dan jika nilai m equals 1 half disubstitusikan ke persamaan (2) diperoleh

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row c equals cell negative 2 minus 6 times open parentheses 1 half close parentheses end cell row blank equals cell negative 2 minus 3 end cell row blank equals cell negative 5 end cell end table

sehingga persamaan garis singgung yang pertama adalah

y equals negative 2 x minus 5 .

Dengan demikian, persamaan garis singgung lingkaran di titik open parentheses 6 comma space minus 2 close parentheses adalah y equals negative 2 x plus 10 atau y equals negative 2 x minus 5 .