Pertanyaan

Tentukan nilai-nilai x dalam interval 0 ∘ < x < 36 0 ∘ yang memenuhi persamaan di bawah ini : 3 sin x ∘ + 2 cos x ∘ = 13

Tentukan nilai-nilai $x$ dalam interval $0^{\circ} < x < 36 0^{\circ}$ yang memenuhi persamaan di bawah ini :

$3 sin x^{\circ} + 2 cos x^{\circ} = 13$

A. Hadiannur

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Gadjah Mada

Jawaban terverifikasi

Jawaban

nilai x yang memenuhi persamaan adalah 33 , 6 9 ∘ .

nilai

x

yang memenuhi persamaan adalah

33, 6 9^{\circ}

Pembahasan

Ingat : R cos ( x − α ) R = = a cos x + b sin x , dengan a 2 + b 2 dan α = tan − 1 ( a b ) Penyelesaian persamaan a cos x ∘ + b sin x ∘ = c , ∣ c ∣ ≤ R : x = α ± cos ( R c ) + k ⋅ 36 0 ∘ , k ∈ 36 0 ∘ Diketahui dari soal : 3 sin x ∘ + 2 cos x ∘ = 13 Berdasarkan konsep di atas maka diperoleh : R cos ( x − α ) 3 sin x ∘ + 2 cos x ∘ R R α = = = = = a cos x + b sin x , R cos ( x − α ) ∘ = 13 a 2 + b 2 a 2 + b 2 = 3 2 + 2 2 = 9 + 4 = 13 tan − 1 ( a b ) = tan − 1 ( 3 2 ) = 33 , 6 9 ∘ Karena ( 2 , 3 ) berada di kuadran pertama maka α juga di kuadran pertama. Sehingga diperoleh persamaan 13 cos ( x − 33 , 69 ) ∘ = 13 . Maka diperoleh : 13 cos ( x − 33 , 69 ) ∘ cos ( x − 33 , 69 ) ∘ ( x − 33 , 69 ) ∘ x cos − 1 1 x 1 x 2 untuk k x 1 x 2 = = = = = = = = = = 13 13 13 = 1 cos − 1 1 α ± cos ( R c ) + k ⋅ 36 0 ∘ 0 ∘ α + cos ( R c ) + k ⋅ 36 0 ∘ α − cos ( R c ) + k ⋅ 36 0 ∘ 0 : 33 , 6 9 ∘ + 0 ∘ = 33 , 6 9 ∘ 33 , 6 9 ∘ − 0 ∘ = 33 , 6 9 ∘ Dengan demikian, nilai x yang memenuhi persamaan adalah 33 , 6 9 ∘ .

Ingat :

$R cos (x - α) R = = a cos x + b sin x, dengan a^{2} + b^{2} dan α = tan^{- 1} (\frac{b}{a})$
Penyelesaian persamaan $a cos x^{\circ} + b sin x^{\circ} = c, ∣ c ∣ \leq R$ :

$x = α \pm cos (\frac{c}{R}) + k \cdot 36 0^{\circ}, k \in 36 0^{\circ}$

Diketahui dari soal :

$3 sin x^{\circ} + 2 cos x^{\circ} = 13$

Berdasarkan konsep di atas maka diperoleh :

$R cos (x - α) 3 sin x^{\circ} + 2 cos x^{\circ} R R α = = = = = a cos x + b sin x, R cos (x - α)^{\circ} = 13 a^{2} + b^{2} a^{2} + b^{2} = 3^{2} + 2^{2} = 9 + 4 = 13 tan^{- 1} (\frac{b}{a}) = tan^{- 1} (\frac{2}{3}) = 33, 6 9^{\circ}$

Karena $(2, 3)$ berada di kuadran pertama maka $α$ juga di kuadran pertama. Sehingga diperoleh persamaan $13 cos (x - 33, 69)^{\circ} = 13$ . Maka diperoleh :

$13 cos (x - 33, 69)^{\circ} cos (x - 33, 69)^{\circ} (x - 33, 69)^{\circ} x cos^{- 1} 1 x_{1} x_{2} untuk k x_{1} x_{2} = = = = = = = = = = 13 \frac{13}{13} = 1 cos^{- 1} 1 α \pm cos (\frac{c}{R}) + k \cdot 36 0^{\circ} 0^{\circ} α + cos (\frac{c}{R}) + k \cdot 36 0^{\circ} α - cos (\frac{c}{R}) + k \cdot 36 0^{\circ} 0 : 33, 6 9^{\circ} + 0^{\circ} = 33, 6 9^{\circ} 33, 6 9^{\circ} - 0^{\circ} = 33, 6 9^{\circ}$