Pertanyaan

Untuk 0 ∘ ≤ x ≤ 36 0 ∘ , tentukan himpunan penyelesaiandari persamaan trigonometri di bawah ini : 1 + sin x = 2 cos x

Untuk $0^{\circ} \leq x \leq 36 0^{\circ}$ , tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri di bawah ini :

$1 + sin x = 2 cos x$

S. Nur

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

himpunan penyelesaiannya adalah 270 , 1 ∘ .

himpunan penyelesaiannya adalah

270, 1^{\circ}

Pembahasan

Ingat : R cos ( x + α ) = a cos x − b sin x , dengan R = a 2 + b 2 dan α = tan − 1 ( a b ) Penyelesaian persamaan a cos x ∘ + b sin x ∘ = c , ∣ c ∣ ≤ R : x = α ± cos − 1 ( R c ) + k ⋅ 36 0 ∘ , k ∈ bilangan bulat Diketahui dari soal : 1 + sin x 2 cos x − sin x = = 2 cos x 1 Karena ( 2 , − 1 ) di kuadran keempat makajuga di kuadran keempat. Perhatikan gambar : dimana α = 2 π − θ θ α = = tan − 1 ( a b ) = tan − 1 ( 2 1 ) = 26 , 5 6 ∘ 2 π − θ = 36 0 ∘ − 26 , 5 6 ∘ = 333 , 4 4 ∘ Berdasarkan konsep di atas maka diperoleh : R cos ( x + α ) 2 cos x − sin x R R = = = = a cos x − b sin x R cos ( x − 333 , 4 4 ∘ ) = 1 a 2 + b 2 2 2 + ( − 1 ) 2 = 4 + 1 = 5 Sehingga diperoleh persamaan 5 cos ( x − 333 , 44 ∘ ) = 1 . Diperoleh penyelesaian sebagai berikut : 5 cos ( x − 333 , 4 4 ∘ ) cos ( x − 333 , 4 4 ∘ ) x − 333 , 4 4 ∘ x cos − 1 ( 5 1 ) untuk k x 1 x 2 = = = = = = = = 1 5 1 cos − 1 ( 5 1 ) α ± cos − 1 ( R c ) + k ⋅ 36 0 ∘ 63 , 4 3 ∘ 0 : 333 , 4 4 ∘ + 63 , 4 3 ∘ = 396 , 8 6 ∘ 333 , 4 4 ∘ − 63 , 4 3 ∘ = 270 , 1 ∘ x = 396 , 8 6 ∘ tidak memenuhi karena syarat yang diminta adalah untuk 0 ∘ ≤ x ≤ 36 0 ∘ . Dengan demikian, himpunan penyelesaiannya adalah 270 , 1 ∘ .

Ingat :

$R cos (x + α) = a cos x - b sin x, dengan R = a^{2} + b^{2} dan α = tan^{- 1} (\frac{b}{a})$
Penyelesaian persamaan $a cos x^{\circ} + b sin x^{\circ} = c, ∣ c ∣ \leq R$ :

$x = α \pm cos^{- 1} (\frac{c}{R}) + k \cdot 36 0^{\circ}, k \in bilangan bulat$

Diketahui dari soal :

$1 + sin x 2 cos x - sin x = = 2 cos x 1$

Karena $(2, - 1)$ di kuadran keempat maka juga di kuadran keempat. Perhatikan gambar :

dimana $α = 2 π - θ$

$θ α = = tan^{- 1} (\frac{b}{a}) = tan^{- 1} (\frac{1}{2}) = 26, 5 6^{\circ} 2 π - θ = 36 0^{\circ} - 26, 5 6^{\circ} = 333, 4 4^{\circ}$

Berdasarkan konsep di atas maka diperoleh :

$R cos (x + α) 2 cos x - sin x R R = = = = a cos x - b sin x R cos (x - 333, 4 4^{\circ}) = 1 a^{2} + b^{2} 2^{2} + (- 1)^{2} = 4 + 1 = 5$

Sehingga diperoleh persamaan $5 cos (x - 333, 44^{\circ}) = 1$ . Diperoleh penyelesaian sebagai berikut :

$5 cos (x - 333, 4 4^{\circ}) cos (x - 333, 4 4^{\circ}) x - 333, 4 4^{\circ} x cos^{- 1} (\frac{1}{5}) untuk k x_{1} x_{2} = = = = = = = = 1 \frac{1}{5} cos^{- 1} (\frac{1}{5}) α \pm cos^{- 1} (\frac{c}{R}) + k \cdot 36 0^{\circ} 63, 4 3^{\circ} 0 : 333, 4 4^{\circ} + 63, 4 3^{\circ} = 396, 8 6^{\circ} 333, 4 4^{\circ} - 63, 4 3^{\circ} = 270, 1^{\circ}$