Tentukan nilai minimum dari untuk .

Pertanyaan

Tentukan nilai minimum dari $z equals 10 x plus 15 y$ untuk $x plus 2 y greater or equal than 8 comma space 3 x plus 2 y less or equal than 12 comma space x greater or equal than 0 comma space y greater or equal than 0 comma space x comma y element of straight real numbers$ .

Pembahasan Soal:

Berdasarkan soal di atas, untuk menentukan nilai minimum maka perlu diketahui titik-titik daerah penyelesaiannya. Uji titik $x plus 2 y equals 8$ sebagai berikut:

Saat $x = 0$ maka

$0 + 2 y y = = 8 \frac{8}{2} = 4$

Saat $y = 0$ maka

$x + 2 (0) x = = 88$

Diperoleh titik $(0, 4) dan (8, 0)$ .

Uji titik $3 x plus 2 y equals 12$ sebagai berikut:

Saat $x = 0$ maka

$3 (0) + 2 y y = = 12 \frac{12}{2} = 6$

Saat $y = 0$ maka

$3 x + 2 (0) x = = 12 \frac{12}{3} = 4$

Diperoleh titik $(0, 6) dan (4, 0)$ .

Perpotongan kedua persamaan garis tersebut sebagai berikut:

$table row cell x plus 2 y equals 8 end cell row cell 3 x plus 2 y equals 12 space space minus end cell row cell negative 2 x equals negative 4 end cell row cell x equals 2 end cell end table$

substitusi nilai $x equals 2$ ke salah satu persamaan sebagai berikut:

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x plus 2 y end cell equals 8 row cell 2 plus 2 y end cell equals 8 row cell 2 y end cell equals 6 row y equals 3 end table$

Diperoleh titik potong $(2, 3)$ .

Kemudian, daerah penyelesaiannya dapat digambar sebagai berikut:

Diperoleh daerah penyelesaian (daerah yang diarsir) dengan koordinat $open parentheses 0 comma 4 close parentheses comma open parentheses 0 comma 6 close parentheses comma open parentheses 2 comma 3 close parentheses$ . Substitusi koordinat tersebut ke persamaan $Z$ sebagai berikut:

$(0, 4) \to (0, 6) \to (2, 3) \to z = 10 x + 15 y z = 10 (0) + 15 (4) = 60 z = 10 (0) + 15 (6) = 90 z = 10 (2) + 15 (3) = 20 + 45 = 65$

Jadi, nilai minimum dari $z equals 10 x plus 15 y$ untuk $x plus 2 y greater or equal than 8 comma space 3 x plus 2 y less or equal than 12 comma space x greater or equal than 0 comma space y greater or equal than 0 comma space x comma y element of straight real numbers$ adalah $60$ .

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

A. Acfreelance

Terakhir diupdate 13 September 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

Nilai maksimum dari fungsi objektif pada himpunan daerah penyelesaian yang dibatasi sistem pertidaksamaan: ; ; , adalah ...

Pembahasan Soal:

Ingat materi program linear untuk menyelesaikan soal.

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 5 x plus 3 y end cell less or equal than cell 30 horizontal ellipsis open parentheses 1 close parentheses end cell row cell x minus 3 y end cell greater or equal than cell negative 12 horizontal ellipsis left parenthesis 2 right parenthesis end cell end table$

Membuat sketsa grafik dari persamaan (1) dan (2) dengan mencari titik potong-titik potongnya dengan mengubah pertidaksamaan yang ada menjadi sebuah persamaan.

Persamaan (1)

$5 x plus 3 y equals 30$ titik potong sumbu $X$ , $y equals 0$

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 5 x plus 3 y end cell equals 30 row cell 5 x plus 3 left parenthesis 0 right parenthesis end cell equals 30 row cell 5 x end cell equals 30 row x equals cell 30 over 5 end cell row x equals 6 end table$

.Didapat titik potong (6,0)

$5 x plus 3 y equals 30$ titik potong sumbu $Y$ , $x equals 0$ .

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 5 x plus 3 y end cell equals 30 row cell 5 left parenthesis 0 right parenthesis plus 3 y end cell equals 30 row cell 3 y end cell equals 30 row y equals cell 30 over 3 end cell row y equals 10 end table$

Didapat titik potong (0,10)

Persamaan (2)

$x minus 3 y equals negative 12$ titik potong sumbu $X$ , $y equals 0$ .

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x minus 3 y end cell equals cell negative 12 end cell row cell x minus 3 left parenthesis 0 right parenthesis end cell equals cell negative 12 end cell row x equals cell negative 12 end cell end table$

Didapat titik potong (-12,0)

$x minus 3 y equals negative 12$ titik potong sumbu $Y$ , $x equals 0$ .

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x minus 3 y end cell equals cell negative 12 end cell row cell left parenthesis 0 right parenthesis minus 3 y end cell equals cell negative 12 end cell row cell negative 3 y end cell equals cell negative 12 end cell row y equals cell fraction numerator negative 12 over denominator negative 3 end fraction end cell row y equals 4 end table$

Didapat titik potong (0,4)

Persamaan (1) dan (2)

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x minus 3 y end cell equals cell negative 12 end cell row x equals cell 3 y minus 12 horizontal ellipsis left parenthesis 3 right parenthesis end cell end table$

Substitusi persamaan (3) ke (1)

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 5 x plus 3 y end cell equals 30 row cell 5 left parenthesis 3 y minus 12 right parenthesis plus 3 y end cell equals 30 row cell 15 y minus 60 plus 3 y end cell equals 30 row cell 15 y plus 3 y end cell equals cell 30 plus 60 end cell row cell 18 y end cell equals 90 row y equals cell 90 over 18 end cell row y equals cell 5 horizontal ellipsis open parentheses 4 close parentheses end cell end table$

Substitusi (4) ke (3)

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row x equals cell 3 y minus 12 end cell row blank equals cell 3 left parenthesis 5 right parenthesis minus 12 end cell row blank equals cell 15 minus 12 end cell row blank equals 3 end table$

Didapat titik potong (3,5)

Berikut lukisan atau sketsa kedua garis dan titik potongnya beserta titik-titik kritisnya.

Selanjutnya uji titik untuk mendapatkan fungsi objektif maksimumnya berdasarkan titik yang didapat pada gambar.

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f open parentheses x comma y close parentheses end cell equals cell 4 x plus 5 y end cell row cell f open parentheses 0 , 10 close parentheses end cell equals cell 4 open parentheses 0 close parentheses plus 5 open parentheses 10 close parentheses equals 0 plus 50 equals 50 end cell row cell f open parentheses 0 , 4 close parentheses end cell equals cell 4 open parentheses 0 close parentheses plus 5 open parentheses 4 close parentheses equals 0 plus 20 equals 20 end cell row cell f open parentheses 3 , 5 close parentheses end cell equals cell 4 open parentheses 3 close parentheses plus 5 open parentheses 5 close parentheses equals 12 plus 25 equals 37 end cell end table$

Dari perhitungan di atas didapatkan bahwa fungsi objektif bernilai maksimum pada titik (0,10) dengan hasil 50.

Oleh karena itu, jawaban yang benar tidak ada.

Roboguru

Sebuah industri rumah tangga dalam sehari memproduksi dua macam kue, yaitu kue jenis I dan kue jenis II. Kue jenis I terbuat dari tepung dan mentega. Kue jenis II terbuat dari tepung dan mentega. ...

Pembahasan Soal:

Langkah-langkah optimasi dengan program linear, yaitu:

1. Buat sistem pertidaksamaan linear dari masalah yang ada.

2. Selesaikan sistem pertidaksamaan linear tersebut.

3. Lakukan uji titik yang sesuai di penyelesaian sistem pertidaksamaan yang dihasilkan.

Model matematika dari permasalahan di atas adalah sebagai berikut.

Misal $x$ banyak kue jenis I dan $y$ banyak kue jenis II.

Dapat ditentukan pertidaksamaan atau fungsi kendala berikut.

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 comma 5 x plus 2 comma 5 y end cell less or equal than 150 row cell x plus y end cell less or equal than 60 end table$

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 comma 5 x plus 5 y end cell less or equal than 250 row cell x plus 2 y end cell less or equal than 100 end table$

$x greater or equal than 0 comma space y greater or equal than 0$

Asumsi soal: Laba untuk kue jenis II adalah $text Rp6.000,00 end text$ /buah.

Fungsi tujuan: $f open parentheses x comma space y close parentheses equals 2.000 x plus 6.000 y$

Grafik dari sistem pertidaksamaan tersebut adalah sebagai berikut.

Grafik:

Titik potong kedua garis tersebut dapat ditentukan sebagai berikut.

$table row cell x plus y end cell equals cell 60 space space end cell row cell x plus 2 y end cell equals cell 100 space minus end cell row cell negative y end cell equals cell negative 40 end cell row y equals 40 end table$

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x plus y end cell equals 60 row cell x plus 40 end cell equals 60 row x equals 20 end table$

Diperoleh titik potong $open parentheses 20 comma space 40 close parentheses$

Penentuan nilai maksimum dengan titik pojok adalah sebagai berikut.

Laba maksimum diperoleh apabila memproduksi 50 kue jenis II saja.

Oleh karena itu, jawaban yang tepat adalah D.

Roboguru

Nilai minimum dari yang memenuhi adalah ...

Pembahasan Soal:

Perhatikan bahwa

$2 y minus x less or equal than y plus x less or equal than 3 y left right double arrow 2 y minus x less or equal than y plus x space space dan space straight y plus straight x less or equal than 3 straight y space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space left right double arrow space space space space space space space y less or equal than 2 x space space space space space space space space space space space space space space space space space x less or equal than 2 y$

Selanjutnya

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 y plus x minus 20 end cell less or equal than cell 0 space left right double arrow x plus 2 y less or equal than 20 end cell row blank blank blank row cell 9 minus y minus x end cell less or equal than cell 0 space left right double arrow space x plus y greater or equal than 9 space end cell end table$

Menentukan titik potong garis dengan sumbu koordinat

Uji titik $open parentheses 0 comma space 0 close parentheses$

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x plus 2 y end cell less or equal than 20 row cell open parentheses 0 close parentheses plus 2 open parentheses 0 close parentheses end cell less or equal than 20 row 0 less or equal than 20 row blank blank cell memenuhi space end cell row blank blank blank row cell straight x plus straight y end cell greater or equal than 9 row cell open parentheses 0 close parentheses plus open parentheses 0 close parentheses end cell greater or equal than 9 row 0 greater or equal than 9 row blank blank cell tidak space memenuhi end cell end table$

Grafik

Titik potong garis

titik A, perpotongan $y equals 2 x space dan space x plus y equals 9$

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x plus y end cell equals 9 row cell x plus 2 x end cell equals 9 row cell 3 x end cell equals 9 row x equals 3 row blank blank blank row y equals cell 2 x end cell row blank equals cell 2 open parentheses 3 close parentheses end cell row blank equals 6 end table$

Jadi $A open parentheses 3 comma space 6 close parentheses$ .

Titik B, perpotongan $x equals 2 y space dan space x plus y equals 9$

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x plus y end cell equals 9 row cell 2 y plus y end cell equals 9 row cell 3 y end cell equals 9 row y equals 3 row blank blank blank row x equals cell 2 y end cell row blank equals cell 2 open parentheses 3 close parentheses end cell row blank equals 6 end table$

Jadi, $B open parentheses 6 comma space 3 close parentheses$ .

Titik C, perpotongan $x equals 2 y space dan space x plus 2 y equals 20$

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x plus 2 y end cell equals 20 row cell 2 y plus 2 y end cell equals 20 row cell 4 y end cell equals 20 row y equals 5 row blank blank blank row x equals cell 2 y end cell row blank equals cell 2 open parentheses 5 close parentheses end cell row blank equals 10 end table$

Jadi, $C open parentheses 10 comma space 5 close parentheses$ .

Titik D, perpotongan $y equals 2 x space dan space x plus 2 y equals 20$

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x plus 2 y end cell equals 20 row cell x plus 2 open parentheses 2 x close parentheses end cell equals 20 row cell 5 x end cell equals 20 row x equals 4 row blank blank blank row y equals cell 2 x end cell row blank equals cell 2 open parentheses 4 close parentheses end cell row blank equals 8 end table$

Jadi, $D open parentheses 4 comma space 8 close parentheses$

Uji titik pojok

$f open parentheses x comma space y close parentheses equals negative x minus 3 y A open parentheses 3 comma space 6 close parentheses equals negative 3 minus 3 open parentheses 6 close parentheses equals negative 21 B open parentheses 6 comma space 3 close parentheses equals negative 6 minus 3 open parentheses 3 close parentheses equals negative 15 C open parentheses 10 comma space 5 close parentheses equals negative 10 minus 3 open parentheses 5 close parentheses equals negative 25 D open parentheses 4 comma space 8 close parentheses equals negative 4 minus 3 open parentheses 8 close parentheses equals negative 28$

Jadi, nilai minimum dari $negative x minus 3 y$ adalah $negative 28$ .

Dengan demikian, jawaban yang tepat adalah B.

Roboguru

Nilai maksimum dari yang memenuhi , , adalah ...

Pembahasan Soal:

Pertama, kita gambarkan garis $x plus y equals 10$ dengan menentukan titik potong dengan sumbu X dan sumbu Y setiap persamaan garis. Berikut tabel titik potongnya.

Langkah kedua adalah menggambar DHP (Daerah Himpunan Penyelesaian) dengan uji titik. Tambahkan juga daerah $x greater or equal than 2$ dan $y greater or equal than 0$ pada daerah himpunan penyelesaiannya.

Langkah ketiga adalah menentukan titik potong A. Titik A mempunyai absis $x equals 2$ , sehingga ordinatnya:

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x plus y end cell equals 10 row cell 2 plus y end cell equals 10 row y equals 8 end table$

Diperoleh titik $straight A left parenthesis 2 comma space 8 right parenthesis$ .

Langkah berikutnya adalah menentukan nilai maksimum dengan uji titik pojok.

Jadi, nilai maksimumnya adalah 60.

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah B.

Roboguru

Nilai minimum dari fungsi tujuan dengan syarat dan adalah ... .

Pembahasan Soal:

Syarat :

$x plus y greater or equal than 2 space space 2 x plus 3 y less or equal than 12 space space x greater or equal than 0 space space y greater or equal than 0$

Tentukan titik-titik dari persamaan garis dan gunakan titik uji untuk mengetahui daerah penyelesaian :

$x plus y greater or equal than 2 space space left parenthesis 0 space comma 2 right parenthesis space d a n space left parenthesis 2 space comma 0 right parenthesis 2 x plus 3 y less or equal than 12 space space left parenthesis 0 space comma 4 right parenthesis space d a n space left parenthesis 6 space comma 0 right parenthesis$

Daerah himpunan penyelesaiannya adalah :

Substitusi titik-titik pada daerah penyelesaian :

$f left parenthesis x comma y right parenthesis equals 4 x plus y space space left parenthesis 0 space comma space 2 right parenthesis rightwards arrow space 4 left parenthesis 0 right parenthesis plus left parenthesis 2 right parenthesis equals 2 space left parenthesis 0 space comma space 4 right parenthesis rightwards arrow space 4 left parenthesis 0 right parenthesis plus left parenthesis 4 right parenthesis equals 4 space left parenthesis 6 space comma space 0 right parenthesis space rightwards arrow space 4 left parenthesis 6 right parenthesis plus left parenthesis 0 right parenthesis equals 24 space left parenthesis 2 space comma space 0 right parenthesis space rightwards arrow space 4 left parenthesis 2 right parenthesis plus left parenthesis 0 right parenthesis equals 8$

Maka nilai minimumnya adalah 2.

Roboguru