Tentukan nilai Rdanα dari setiap persamaan di bawah ini. 2sin(θ)+3cos(θ)=Rsin(θ−α)

Ingat,

Sudut dalam Segitiga

$$\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}=180^{\circ }$$

Aturan Cos-Perbandingan Sisi

$$c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos \mathrm{C}$$

Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Selisih Dua Sudut (Sinus)

$$\sin \left(\mathrm{A}-\mathrm{B}\right)=\sin \mathrm{A}\cos \mathrm{B}-\cos \mathrm{A}\sin \mathrm{B}$$

Berdasarkan rumus tersebut, diperoleh sebagai berikut

Karena segitiga $$\mathrm{ABC}$$ maka, 

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}& =& 180^{\circ }\\ \mathrm{A}+\mathrm{B}& =& 180^{\circ }-\mathrm{C}\end{array}$$

Bentuk sederhana $$\sin \left(\mathrm{A}+\mathrm{B}\right)$$

$$\begin{array}{rcl}\sin \left(\mathrm{A}+\mathrm{B}\right)& =& \sin \left(180^{\circ }-\mathrm{C}\right)\\ & =& \sin 180^{\circ }\sin \mathrm{C}-\cos 180^{\circ }\sin \mathrm{C}\\ & =& 0-\left(-1\sin \mathrm{C}\right)\\ & =& \sin \mathrm{C}\end{array}$$

Menghitung sudut $$\mathrm{C}$$ dengan aturan cos
Diketahui bahwa perbandingan sisi-sisi $$a:b:c=2:3:4$$
Misal : $$\begin{gathered} a=2x \\ b=3x \\ c=4x \end{gathered}$$

$$\begin{array}{rcl}{c}^2& =& a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos \mathrm{C}\\ {\left(4\mathrm{x}\right)}^2& =& {\left(2\mathrm{x}\right)}^2+{\left(3\mathrm{x}\right)}^2-2\left(2\mathrm{x}\right)\left(3\mathrm{x}\right)\cos \mathrm{C}\\ 16{\mathrm{x}}^2& =& 4{\mathrm{x}}^2+9{\mathrm{x}}^2-12{\mathrm{x}}^2\cos \mathrm{C}\\ 16{\mathrm{x}}^2& =& 13{\mathrm{x}}^2-12{\mathrm{x}}^2\cos \mathrm{C}\\ 3{\mathrm{x}}^2& =& -12{\mathrm{x}}^2\cos \mathrm{C}\\ \cos \mathrm{C}& =& \frac{3{\mathrm{x}}^2}{-12{\mathrm{x}}^2}\\ \cos \mathrm{C}& =& -\frac{1}{4}\\ \cos \mathrm{C}& =& -0,25\\ \mathrm{C}& =& 105^{\circ }\end{array}$$

Menentukan nilai $$\sin \left(\mathrm{A}+\mathrm{B}\right)$$
Diperoleh bahwa $$\sin \left(\mathrm{A}+\mathrm{B}\right)=\sin \mathrm{C}$$ dan besar $$\angle \mathrm{C}=105^{\circ }$$, sehingga

$$\sin \left(\mathrm{A}+\mathrm{B}\right)=\sin \mathrm{C}=\sin 105^{\circ }=0,97$$

Dengan demikian, nilai dari $$\sin \left(\mathrm{A}+\mathrm{B}\right)$$ adalah $$0,97$$. 

Karena , maka  

Karena , maka

  

Perhatikan bahwa . Maka

 

Selanjutnya, yang ditanyakan adalah

 

Untuk mencari nilai dari sin A dan cos A perhatikan segitiga berikut

Perhatikan bahwa diketahui A  merupakan sudut lancip. Karena , maka

Karena segitiga di atas merupakan segitiga siku-siku, maka nilai x bisa didapat menggunakan teorema Pythagoras. Sehingga

 

Sehingga didapatkan  

 

Selanjutnya

 

Untuk mencari nilai dari cos B perhatikan segitiga berikut

Perhatikan bahwa diketahui B merupakan sudut lancip. Karena , maka

Karena segitiga di atas merupakan segitiga siku-siku, maka nilai y bisa didapat menggunakan teorema Pythagoras. Sehingga

  

Sehingga didapatkan  

 

Maka didapat bahwa

 

Sehingga

 

Jadi, jawaban yang tepat adalah B.

Ingat kembali rumus perbandingan trigonometri untuk selisih dua sudut berikut.

  $$\sin (A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B$$ 

Penyelesaian soal di atas yaitu.

$$\begin{array}{rcl}\sin \left(x-45^{\circ }\right)& =& \sin x\cos 45^{\circ }-\cos x\sin 45^{\circ }\\ & =& \sin x\cdot \frac{1}{2}\sqrt{2}-\cos x\cdot \frac{1}{2}\sqrt{2}\\ & =& \frac{1}{2}\sqrt{2}\left(\sin x-\cos x\right)\end{array}$$      

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah B.

Perbandingan trigonometri sudut-sudut berelasi yaitu:

Sehingga diperoleh:

Nilai sudut trigonometrinya yaitu:

Maka, nilai dari .

Diketahui:

Untuk sudut lancip, nilai trigonometri sudut A seluruhnya bernilai positif.

 

maka:

Untuk sudut tumpul dengan nilai cos negatif maka sudut terletak di kuadran II.

maka:

• Nilai :

Nilai :

Jadi,  dan  secara berturut-turut adalah  dan .