Pertanyaan

Tentukan gradien dari persamaan garis singgung lingkaran L ≡ x 2 + y 2 − 2 x − 4 y − 20 = 0 yang ditarik melalui titik ( 8 , 1 ) .

Tentukan gradien dari persamaan garis singgung lingkaran $L \equiv x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 20 = 0$ yang ditarik melalui titik $(8, 1)$ .

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

E. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret

Jawaban terverifikasi

Jawaban

gradien dari garis singgung lingkarannya adalah − 3 4 dan − 4 1 .

gradien dari garis singgung lingkarannya adalah

- \frac{4}{3} dan - \frac{1}{4}

Pembahasan

Ingat kembali: Persamaan garis polar pada lingkaran L ≡ x 2 + y 2 + A x + B x + C = 0 yang melalui titik ( x 1 , y 1 ) adalah: x 1 ⋅ x + y 1 ⋅ y + 2 A ( x 1 + x ) + 2 B ( y 1 + y ) = r 2 Rumus menentukan gradien mellaui dua titik: m = x 2 − x 1 y 2 − y 1 Pada soal diketahui bahwa: x 2 + y 2 − 2 x + y 2 − 2 x − 4 y − 20 = 0 A = − 2 , B = − 4 , C = 20 A ( 0 , 6 ) → x 1 = 8 , y 1 = 1 Persamaan garis polarnya adalah: x 1 ⋅ x + y 1 ⋅ y + 2 A ( x 1 + x ) + 2 B ( y 1 + y ) + C ( 8 ) x + ( 1 ) ⋅ y + 2 − 2 ( 8 + x ) + 2 − 4 ( 1 + y ) − 20 8 x + y − 8 − x − 2 − 2 y − 20 7 x − y − 30 y = = = = = 0 0 0 0 7 x − 30 Selanjutnya substitusi nilai y pada persamaan lingkaran: x 2 + y 2 − 2 x − 4 y − 20 x 2 + ( 7 x − 30 ) 2 − 2 x − 4 ( 7 x − 30 ) − 20 x 2 + 49 x 2 − 420 x + 900 − 2 x − 28 x + 120 − 20 50 x 2 − 450 + 1000 x 2 − 9 x + 20 ( x − 5 ) ( x − 4 ) = = = = = = 0 0 0 0 0 0 x = 4 atau x = 5 Maka titik singgung lingkaran tersebut adalah: Untuk x = 4 y y = = = = 7 x − 30 7 ( 4 ) − 30 28 − 30 − 2 Untuk x = 5 y y = = = = 7 x − 30 7 ( 5 ) − 30 35 − 30 5 Diperoleh titik singgung lingkarannya adalah ( 4 , 2 ) dan ( 5 , 5 ) Dengan menggunakan rumus gradien doperoleh: Untuk titik ( 8 , 1 ) dan ( 4 , 2 ) m = = = x 2 − x 1 y 2 − y 1 4 − 8 2 − 1 − 4 1 Untuk titik ( 8 , 1 ) dan ( 5 , 5 ) m = = = x 2 − x 1 y 2 − y 1 5 − 8 5 − 1 − 3 4 Dengan demikian,gradien dari garis singgung lingkarannya adalah − 3 4 dan − 4 1 .

Ingat kembali:

Persamaan garis polar pada lingkaran $L \equiv x^{2} + y^{2} + A x + B x + C = 0$ yang melalui titik $(x_{1}, y_{1})$ adalah:

$x_{1 \cdot} x + y_{1} \cdot y + \frac{A}{2} (x_{1} + x) + \frac{B}{2} (y_{1} + y) = r^{2}$

Rumus menentukan gradien mellaui dua titik:

$m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$

Pada soal diketahui bahwa:

$x^{2} + y^{2} - 2 x + y^{2} - 2 x - 4 y - 20 = 0 A = - 2, B = - 4, C = 20$

$A (0, 6) \to x_{1} = 8, y_{1} = 1$

Persamaan garis polarnya adalah:

$x_{1 \cdot} x + y_{1} \cdot y + \frac{A}{2} (x_{1} + x) + \frac{B}{2} (y_{1} + y) + C (8) x + (1) \cdot y + \frac{- 2}{2} (8 + x) + \frac{- 4}{2} (1 + y) - 20 8 x + y - 8 - x - 2 - 2 y - 20 7 x - y - 30 y = = = = = 0000 7 x - 30$

Selanjutnya substitusi nilai $y$ pada persamaan lingkaran:

$x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 20 x^{2} + (7 x - 30)^{2} - 2 x - 4 (7 x - 30) - 20 x^{2} + 49 x^{2} - 420 x + 900 - 2 x - 28 x + 120 - 20 50 x^{2} - 450 + 1000 x^{2} - 9 x + 20 (x - 5) (x - 4) = = = = = = 000000 x = 4 atau x = 5$

Maka titik singgung lingkaran tersebut adalah:

Untuk $x = 4$

$y y = = = = 7 x - 30 7 (4) - 30 28 - 30 - 2$

Untuk $x = 5$

$y y = = = = 7 x - 30 7 (5) - 30 35 - 30 5$

Diperoleh titik singgung lingkarannya adalah $(4, 2) dan (5, 5)$

Dengan menggunakan rumus gradien doperoleh:

Untuk titik $(8, 1) dan (4, 2)$

$m = = = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}} \frac{2 - 1}{4 - 8} - \frac{1}{4}$

Untuk titik $(8, 1) dan (5, 5)$

$m = = = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}} \frac{5 - 1}{5 - 8} - \frac{4}{3}$

Dengan demikian,gradien dari garis singgung lingkarannya adalah $- \frac{4}{3} dan - \frac{1}{4}$ .

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

4.5 (2 rating)

Anugerah A

Pembahasan lengkap banget

Pertanyaan serupa

Gradien positif dari persamaan garis singgung lingkaran L ≡ x 2 + y 2 = 25 yang melalui titik A ( − 1 , 7 ) adalah . . . .

5.0

Jawaban terverifikasi

Gradien positif dari persamaan garis singgung lingkaran L ≡ x 2 + y 2 = 25 yang melalui titik A ( − 1 , 7 ) adalah . . . .

5.0

Jawaban terverifikasi

Garis x = 5 memotong lingkaran x 2 + y 2 − 4 x − 6 y − 12 = 0 di dua titik. a. Tentukan koordinat titik tersebut.

4.9

Jawaban terverifikasi

Garis singgung pada lingkaran L ≡ x 2 + y 2 = 9 yang membentuk sudut 3 π dengan sumbu X positif akan memotong sumbu Y di titik....

4.7

Jawaban terverifikasi

Diketahui garis 5 x − 12 y = 32 dan lingkaran x 2 + y 2 − 6 x − 8 y = 0 . Buktikan bahwa : b. garis tersebut juga menyinggung lingkaran x 2 + y 2 + 28 x + 20 y + 71 = 0 dan tentukan titik singgungn...

0.0

Jawaban terverifikasi