Pertanyaan

Tentukan gradien dari persamaan garis singgung lingkaran L ≡ x 2 + y 2 − 2 x − 4 y − 20 = 0 yang ditarik melalui titik ( 8 , 1 ) .

Tentukan gradien dari persamaan garis singgung lingkaran $L \equiv x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 20 = 0$ yang ditarik melalui titik $(8, 1)$ .

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

E. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret

Jawaban terverifikasi

Jawaban

gradien dari garis singgung lingkarannya adalah − 3 4 dan − 4 1 .

gradien dari garis singgung lingkarannya adalah

- \frac{4}{3} dan - \frac{1}{4}

Pembahasan

Ingat kembali: Persamaan garis polar pada lingkaran L ≡ x 2 + y 2 + A x + B x + C = 0 yang melalui titik ( x 1 , y 1 ) adalah: x 1 ⋅ x + y 1 ⋅ y + 2 A ( x 1 + x ) + 2 B ( y 1 + y ) = r 2 Rumus menentukan gradien mellaui dua titik: m = x 2 − x 1 y 2 − y 1 Pada soal diketahui bahwa: x 2 + y 2 − 2 x + y 2 − 2 x − 4 y − 20 = 0 A = − 2 , B = − 4 , C = 20 A ( 0 , 6 ) → x 1 = 8 , y 1 = 1 Persamaan garis polarnya adalah: x 1 ⋅ x + y 1 ⋅ y + 2 A ( x 1 + x ) + 2 B ( y 1 + y ) + C ( 8 ) x + ( 1 ) ⋅ y + 2 − 2 ( 8 + x ) + 2 − 4 ( 1 + y ) − 20 8 x + y − 8 − x − 2 − 2 y − 20 7 x − y − 30 y = = = = = 0 0 0 0 7 x − 30 Selanjutnya substitusi nilai y pada persamaan lingkaran: x 2 + y 2 − 2 x − 4 y − 20 x 2 + ( 7 x − 30 ) 2 − 2 x − 4 ( 7 x − 30 ) − 20 x 2 + 49 x 2 − 420 x + 900 − 2 x − 28 x + 120 − 20 50 x 2 − 450 + 1000 x 2 − 9 x + 20 ( x − 5 ) ( x − 4 ) = = = = = = 0 0 0 0 0 0 x = 4 atau x = 5 Maka titik singgung lingkaran tersebut adalah: Untuk x = 4 y y = = = = 7 x − 30 7 ( 4 ) − 30 28 − 30 − 2 Untuk x = 5 y y = = = = 7 x − 30 7 ( 5 ) − 30 35 − 30 5 Diperoleh titik singgung lingkarannya adalah ( 4 , 2 ) dan ( 5 , 5 ) Dengan menggunakan rumus gradien doperoleh: Untuk titik ( 8 , 1 ) dan ( 4 , 2 ) m = = = x 2 − x 1 y 2 − y 1 4 − 8 2 − 1 − 4 1 Untuk titik ( 8 , 1 ) dan ( 5 , 5 ) m = = = x 2 − x 1 y 2 − y 1 5 − 8 5 − 1 − 3 4 Dengan demikian,gradien dari garis singgung lingkarannya adalah − 3 4 dan − 4 1 .

Ingat kembali:

Persamaan garis polar pada lingkaran $L \equiv x^{2} + y^{2} + A x + B x + C = 0$ yang melalui titik $(x_{1}, y_{1})$ adalah:

$x_{1 \cdot} x + y_{1} \cdot y + \frac{A}{2} (x_{1} + x) + \frac{B}{2} (y_{1} + y) = r^{2}$

Rumus menentukan gradien mellaui dua titik:

$m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$

Pada soal diketahui bahwa:

$x^{2} + y^{2} - 2 x + y^{2} - 2 x - 4 y - 20 = 0 A = - 2, B = - 4, C = 20$

$A (0, 6) \to x_{1} = 8, y_{1} = 1$

Persamaan garis polarnya adalah:

$x_{1 \cdot} x + y_{1} \cdot y + \frac{A}{2} (x_{1} + x) + \frac{B}{2} (y_{1} + y) + C (8) x + (1) \cdot y + \frac{- 2}{2} (8 + x) + \frac{- 4}{2} (1 + y) - 20 8 x + y - 8 - x - 2 - 2 y - 20 7 x - y - 30 y = = = = = 0000 7 x - 30$

Selanjutnya substitusi nilai $y$ pada persamaan lingkaran:

$x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 20 x^{2} + (7 x - 30)^{2} - 2 x - 4 (7 x - 30) - 20 x^{2} + 49 x^{2} - 420 x + 900 - 2 x - 28 x + 120 - 20 50 x^{2} - 450 + 1000 x^{2} - 9 x + 20 (x - 5) (x - 4) = = = = = = 000000 x = 4 atau x = 5$