Pertanyaan

Gradien positif dari persamaan garis singgung lingkaran L ≡ x 2 + y 2 = 25 yang melalui titik A ( − 1 , 7 ) adalah . . . .

Gradien positif dari persamaan garis singgung lingkaran $L \equiv x^{2} + y^{2} = 25$ yang melalui titik $A (- 1, 7)$ adalah . . . .

$\frac{1}{2} 2$
$2$
$\frac{3}{2}$
$\frac{4}{3}$
$\frac{5}{3}$

E. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang benar adalah D.

Pembahasan

Ingat kembali jika diketahui titik polar P ( x 1 , y 1 ) maka persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y 2 = r 2 dengan menggunakan garis polar adalah x 1 x + y 1 y = r 2 . Ingat juga menentukan gradien jika diketahui dua titik ( x 1 , y 1 ) dan ( x 2 , y 2 ) : m = x 2 − x 1 y 2 − y 1 Pada soal diketahui: A ( − 1 , 7 ) → x 1 = − 1 , y 1 = 7 x 2 + y 2 x 1 ⋅ x + y 1 ⋅ y = = 25 25 Diperoleh: x 1 ⋅ x + y 1 ⋅ y ( − 1 ) x + ( 7 ) y − x + 7 y − x x = = = = = 25 25 25 − 7 y + 25 7 y − 25 Selanjutnya substitusi x ke persamaan lingkaran: x 2 + y 2 ( 7 y − 25 ) 2 + y 2 49 y 2 − 350 y + 625 + y 2 − 25 50 y 2 − 350 y + 600 y 2 − 7 y + 12 ( y − 3 ) ( y − 4 ) = = = = = = 25 25 0 0 0 0 y = 3 atau y = 4 Titik singgungnya diperoleh: y = 3 → y = 4 → x = 7 y − 25 x = 7 ( 3 ) − 25 x = 21 − 25 x = − 4 x = 7 y − 25 x = 7 ( 4 ) − 25 x = 28 − 25 x = 3 Diperoleh titik singgungnya adalah B ( − 4 , 3 ) dan C ( 3 , 4 ) Akan ditentukan gradien titik singgungnya: Untuk garis AB m = = = = = x 2 − x 1 y 2 − y 1 − 4 − ( − 1 ) 3 − 7 − 4 + 1 − 4 − 3 − 4 3 4 Untuk garis AC m = = = x 2 − x 1 y 2 − y 1 3 − ( − 1 ) 4 − 7 4 − 3 Dengan demikian, gradien garis singgung yang positif adalah 3 4 . Oleh karena itu jawaban yang benar adalah D.

Ingat kembali jika diketahui titik polar $P (x_{1}, y_{1})$ maka persamaan garis singgung lingkaran $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ dengan menggunakan garis polar adalah $x_{1} x + y_{1} y = r^{2}$ .

Ingat juga menentukan gradien jika diketahui dua titik $(x_{1}, y_{1})$ dan $(x_{2}, y_{2})$ :

$m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$

Pada soal diketahui:

$A (- 1, 7) \to x_{1} = - 1, y_{1} = 7$

$x^{2} + y^{2} x_{1} \cdot x + y_{1} \cdot y = = 2525$

Diperoleh:

$x_{1} \cdot x + y_{1} \cdot y (- 1) x + (7) y - x + 7 y - x x = = = = = 252525 - 7 y + 25 7 y - 25$

Selanjutnya substitusi $x$ ke persamaan lingkaran:

$x^{2} + y^{2} (7 y - 25)^{2} + y^{2} 49 y^{2} - 350 y + 625 + y^{2} - 25 50 y^{2} - 350 y + 600 y^{2} - 7 y + 12 (y - 3) (y - 4) = = = = = = 25250000 y = 3 atau y = 4$

Titik singgungnya diperoleh:

$y = 3 \to y = 4 \to x = 7 y - 25 x = 7 (3) - 25 x = 21 - 25 x = - 4 x = 7 y - 25 x = 7 (4) - 25 x = 28 - 25 x = 3$

Diperoleh titik singgungnya adalah $B (- 4, 3) dan C (3, 4)$

Akan ditentukan gradien titik singgungnya:

Untuk garis $AB$

$m = = = = = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}} \frac{3 - 7}{- 4 - ( - 1 )} \frac{- 4}{- 4 + 1} \frac{- 4}{- 3} \frac{4}{3}$

Untuk garis $AC$

$m = = = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}} \frac{4 - 7}{3 - ( - 1 )} \frac{- 3}{4}$

Dengan demikian, gradien garis singgung yang positif adalah $\frac{4}{3}$ .

Oleh karena itu jawaban yang benar adalah D.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (7 rating)

Pertanyaan serupa

7a. Tentukan titik potong lingkaran yang berpusat di A ( 1 , 2 ) dan berjari-jari 10 terhadap sumbu Y. 7b. Tentukan persamaan garis singgung melalui titik potong tersebut.

5.0

Jawaban terverifikasi

Salah satu persamaan garis singgung lingkaran L ≡ ( x − 3 ) 2 + ( y − 4 ) 2 = 25 yang melalui titik O ( 0 , 0 ) adalah ...

4.4

Jawaban terverifikasi

Salah satu persamaan garis singgung lingkaran L ≡ ( x − 3 ) 2 + ( y − 4 ) 2 = 25 yang melalui titik O ( 0 , 0 ) adalah ...

4.4

Jawaban terverifikasi

7a. Tentukan titik potong lingkaran yang berpusat di A ( 1 , 2 ) dan berjari-jari 10 terhadap sumbu Y. 7b. Tentukan persamaan garis singgung melalui titik potong tersebut.

5.0

Jawaban terverifikasi

Tentukan gradien dari persamaan garis singgung lingkaran L ≡ x 2 + y 2 − 2 x − 4 y − 20 = 0 yang ditarik melalui titik ( 8 , 1 ) .

0.0

Jawaban terverifikasi