Roboguru

Tanpa menggunakan tabel matematika maupun kalkulator, hitunglah setiap bentuk berikut. cos47∘+sin17∘sin47∘+cos17∘​

Pertanyaan

Tanpa menggunakan tabel matematika maupun kalkulator, hitunglah setiap bentuk berikut.

cos47+sin17sin47+cos17

Pembahasan Soal:

Ingat rumus penumlahan sudut trigonometri berikut ini:

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

cos(A+B)=cosAcosBsinAsinB

Dengan menggunakan rumus di atas diperoleh:

cos47+sin17sin47+cos17=cos(30+17)+sin17sin(30+17)+cos17=(cos30cos17sin30sin17)+sin17(sin30cos17+cos30sin17)+cos17=(23cos1721sin17)+sin17(21cos17+23sin17)+cos17=23cos1721sin17+sin1721cos17+23sin17+cos17=23cos17+21sin1723cos17+23sin17=23cos17+21sin1723cos17+23sin17×22=3cos17sin173cos17+3sin17×3cos17sin173cos17sin17=(3cos17)2(sin17)2(3cos17+3sin17)×(3cos17sin17)=3cos217sin217(3cos17+3sin17)×(3cos17sin17)=3cos217sin21733cos2173sin17cos17+3sin17cos173sin217=3cos217sin21733cos2173sin217=(3cos217sin217)3(3cos217sin217)=3

Jadi, cos47+sin17sin47+cos17=3.

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

D. Rajib

Mahasiswa/Alumni Universitas Muhammadiyah Malang

Terakhir diupdate 13 September 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

Jika A, B dan C adalah sudut-sudut suatu segitiga, buktikan: c.

Pembahasan Soal:

Karena A, B dan C adalah sudut-sudut suatu segitiga, maka A plus B plus C equals 180 degree. Sehingga

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell A plus B end cell equals cell 180 degree minus C end cell row cell fraction numerator A plus B over denominator 2 end fraction end cell equals cell fraction numerator 180 degree minus C over denominator 2 end fraction end cell row cell fraction numerator A plus B over denominator 2 end fraction end cell equals cell 90 degree minus 1 half C end cell end table

Dengan menggunakan rumus penjumlahan sinus, sudut rangkap pada sinus dan sudut berelasi, maka

begin mathsize 12px style sin space A plus sin space B plus sin space C equals 2 space sin space open parentheses fraction numerator A plus B over denominator 2 end fraction close parentheses space cos space open parentheses fraction numerator A minus B over denominator 2 end fraction close parentheses plus 2 space sin space 1 half C space cos space 1 half C equals 2 space sin space open parentheses 90 minus 1 half C close parentheses space cos space open parentheses fraction numerator A minus B over denominator 2 end fraction close parentheses plus 2 space cos space open parentheses 90 minus 1 half C close parentheses cos space 1 half C equals 2 space cos space 1 half C space cos space open parentheses fraction numerator A minus B over denominator 2 end fraction close parentheses plus 2 space cos space open parentheses fraction numerator A plus B over denominator 2 end fraction close parentheses cos space 1 half C equals 2 space cos space 1 half C space open square brackets space cos space open parentheses fraction numerator A minus B over denominator 2 end fraction close parentheses plus cos space open parentheses fraction numerator A plus B over denominator 2 end fraction close parentheses close square brackets end style

Selanjutnya ingat rumus jumlah pada cosinus,

begin mathsize 12px style equals 2 space cos space 1 half C open square brackets 2 space cos space 1 half open parentheses fraction numerator A minus B over denominator 2 end fraction plus fraction numerator A plus B over denominator 2 end fraction close parentheses cos space 1 half open parentheses fraction numerator A minus B over denominator 2 end fraction minus fraction numerator A plus B over denominator 2 end fraction close parentheses close square brackets equals 4 space cos space 1 half C open square brackets cos space 1 half A space cos space 1 half B close square brackets space left parenthesis i n g a t space c o s left parenthesis negative x right parenthesis equals c o s space x right parenthesis equals 4 space cos space 1 half A space cos space 1 half B space cos space 1 half C end style

Jadi, terbukti bahwa sin space A plus sin space B plus sin space C equals 4 space cos space 1 half A space cos space 1 half B space cos space 1 half C.

Roboguru

Buktikan setiap identitas berikut. sinA+sinB+sinCsin2A+sin2B+sin2C​=8sin(2A​)sin(2B​)sin(2C​)

Pembahasan Soal:

Ingat bahwa :

Rumus jumlah dua sudut yaitu

Sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

Rumus jumlah dan selisih Trigonometri

sinA+sinBcosA+cosB==2cos21(A+B)cos21(AB)2cos21(A+B)cos21(AB)

Sudut berelasi

sin(90α)=cosα

sin(180α)=sinα

sin(360α)=sinα

cos(α)=cosα

Sudut rangkap pada sinus 

sin2AsinA==2sinAcosA2sin21Acos21A

Sudut rangkap pada cosinus

cos2A1cos2A==12sin2A2sin2A

Pada segitiga ABC, maka berlaku

A+B+CCcos2Csin2Csin2CsinC===========180180(A+B)cos(2180(A+B))cos(902(A+B))sin(2A+B)sin2(180(A+B))sin(3602(A+B))sin2(A+B)sin(2180(A+B))sin(902(A+B))cos(2A+B)

Pertama akan ditentukan terlebih dahulu hasil dari Sin2A+sin2B+sin2C

sin2A+sin2B+sin2C===========sin2A+sin2Bsin2(A+B)sin2A+sin2Bsin(2A+2B)sin2A+sin2B(sin2Acos2B+cos2Asin2B)sin2Asin2Acos2B+sin2Bcos2Asin2Bsin2A(1cos2B)+sin2B(1cos2A)2sinAcosA2sin2B+2sinBcosB2sin2A4sinAsinB[cosAsinB+cosBsinA]4sinAsinB[sinAcosB+cosAsinB]4sinAsinB[sin(A+B)]4sinAsinBsin(180C)4sinAsinBsinC

Kemudian akan dicari hasil dari sinA+sinB+sinC

sinA+sinB+sinC=======(sinA+sinB)+sinC2sin(2A+B)cos(2AB)+2sin2Ccos2C2cos2C(cos(2AB)+sin2C)2cos2C(cos(2AB)+cos(2A+B))2cos2C(2cos21(2AB+A+B)cos21(2ABAB))2cos2C(2cos(42A)cos(42B))4cos2Acos2Bcos2C

Maka

sinA+sinB+sinCsin2A+sin2B+sin2C===4cos2Acos2Bcos2C4sinAsinBsinC4cos2Acos2Bcos2C42sin2Acos2A2sin2Bcos2B2sin2Ccos2C8sin(2A)sin(2B)sin(2C)(terbukti) 

Dengan demikian terbukti bahwa sinA+sinB+sinCsin2A+sin2B+sin2C=8sin(2A)sin(2B)sin(2C)

 

Roboguru

Jika A+B+C=π, tunjukkan bahwa   (sinA+sinB+sinC)(−sinA+sinB+sinC)(sinA−sinB+sinC)(sinA+sinB−sinC)=4sin2Asin2Bsin2C

Pembahasan Soal:

Ingat bahwa :

Rumus jumlah dan selisih Trigonometri yaitu

sinA+sinB=2sin21(A+B)cos21(AB)cosA+cosB=2cos21(A+B)cos21(AB)

Sudut berelasi berikut

sin(90α)=cosα

sin(180α)=sinα

cos(α)=cosα

Sudut rangkap pada sinus 

sin2AsinA==2sinAcosA2sin21Acos21A

Pada segitiga ABC, maka berlaku

A+B+CA+BCsinCsinCsin(2A+B)sin(2C)===========180180C180(A+B)sin(180(A+B))sin(A+B)sin(2180C)sin(902C)cos2Csin(2180(A+B))sin(90(2A+B))cos(2A+B)

Sebelumnya akan dicari nilai dari SinA+sinB+sinC

sinA+sinB+sinC========(sinA+sinB)+sinC2sin(2A+B)cos(2AB)+2sin2Ccos2C2cos2Ccos(2AB)+2cos(2A+B)cos2C2cos2C(cos(2AB)+cos(2A+B))2cos2C(2cos21(2AB+A+B)cos21(2ABAB))2cos2C(2cos2Acos(2B))2cos2C(2cos2Acos2B)4cos2Acos2Bcos2C

Dengan cara yang sama maka diperoleh: 

 sinA+sinBsinC=4cos2Csin2Asin2BsinA+sinCsinB=4cos2Bsin2Asin2CsinB+sinCsinA=4cos24sin2Bsin2C

Sehingga

===(sinA+sinB+sinC)(sinA+sinB+sinC)(sinAsinB+sinC)(sinA+sinBsinC)(4cos2Acos2Bcos2C)(4cos2Asin2Bsin2C)(4cos2Bsin2Asin2C)(4cos2Csin2Asin2B)4(2sin2Acos2A)2(2sin2Bcos2B)2(2sin2Ccos2C)24sin2Asin2Bsin2C(terbukti)

Dengan demikian benar bahwa (sinA+sinB+sinC)(sinA+sinB+sinC)(sinAsinB+sinC)(sinA+sinBsinC)=4sin2Asin2Bsin2C

 

Roboguru

Hasil dari  adalah ....

Pembahasan Soal:

Dengan menggunakan rumus penjumlahan cosinus dan penjumlahan sinus, maka didapat:

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell fraction numerator cos left parenthesis 45 minus alpha right parenthesis degree plus cos left parenthesis 45 plus alpha right parenthesis degree over denominator sin left parenthesis 45 plus alpha right parenthesis degree plus sin left parenthesis 45 minus alpha right parenthesis degree end fraction end cell equals cell fraction numerator 2 times cos begin display style 1 half end style open parentheses 45 plus alpha plus 45 minus alpha close parentheses degree space cos begin display style 1 half end style open parentheses 45 plus alpha minus 45 plus a close parentheses degree over denominator 2 times sin 1 half open parentheses 45 plus alpha plus 45 minus alpha close parentheses degree space cos 1 half open parentheses 45 plus alpha minus 45 plus a close parentheses degree end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 2 cos 45 degree times cos open parentheses 2 alpha close parentheses degree over denominator 2 sin 45 degree times cos open parentheses 2 alpha close parentheses degree end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator cos 45 degree over denominator sin 45 degree end fraction end cell row blank equals cell cotan space 45 degree end cell row blank equals 1 end table

Jadi, hasil dari fraction numerator cos left parenthesis 45 minus alpha right parenthesis degree plus cos left parenthesis 45 plus alpha right parenthesis degree over denominator sin left parenthesis 45 plus alpha right parenthesis degree plus sin left parenthesis 45 minus alpha right parenthesis degree end fraction adalah 1.

Roboguru

Buktikanlah setiap identitas berikut. coss+cotantsins+sint​=tan(2s+t​)

Pembahasan Soal:

Ingat rumus jumlah dan selisih trigonometri berikut ini:

sinA+sinB=2sin21(A+B)cos21(AB)

cosA+cosB=2cos21(A+B)cos21(AB)

Pada soal di atas, persamaan tersebut tidak terbukti, jadi kita asumsikan bagian penyebutnya bukan cotant melainkan cost sehingga soalnya menjadi 

coss+costsins+sint=tan(2s+t).

Dengan menggunakan konsep di atas, diperoleh hasil:

coss+costsins+sint=====2cos21(s+t)cos21(st)2sin21(s+t)cos21(st)cos21(s+t)sin21(s+t)cos21(st)cos21(st)cos21(s+t)sin21(s+t)1cos21(s+t)sin21(s+t)tan(2s+t)


Jadi, terbukti bahwa coss+costsins+sint=tan(2s+t).

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved