Supaya garis y = x + a menyinggung lingkaran x 2 + y 2 − 6 x − 2 y + 2 = 0 haruslah ....

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah D. Ingat rumus jari-jari lingkaran x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 berikut: r = 4 A ​ + 4 B ​ − C ​ Dan rumus jari-jari lingkaran tersebut menyinggung garis a x + b y + c = 0 dan mempunyai titik pusat di P ( x p ​ , y p ​ ) berikut: r = ∣ ∣ ​ a 2 + b 2 ​ a x p ​ + b y p ​ + c ​ ∣ ∣ ​ Sedangkan titik pusat lingkaran tersebut adalah: P ( x p ​ , y p ​ ) = P ( − 2 A ​ , − 2 B ​ ) Diketahui: persamaan lingkaran x 2 + y 2 − 6 x − 2 y + 2 = 0 menyinggung garis y = x + a ⇔ x − y + a = 0 . Berdasarkan rumus dan informasi di atas, maka titik pusat lingkaran tersebut adalah sebagai berikut: P ( x p ​ , y p ​ ) ​ = = ​ P ( − 2 ( − 6 ) ​ , − 2 ( − 2 ) ​ ) P ( 3 , 1 ) ​ Sehingga persoalan tersebut dapat diselesaikan sebagai berikut: 4 A 2 ​ + 4 B 2 ​ − C ​ 4 ( − 6 ) 2 ​ + 4 ( − 2 ) 2 ​ − 2 ​ 4 36 ​ + 4 4 ​ − 2 ​ 9 + 1 − 2 ​ ( 8 ​ ) 2 8 a 2 + 4 a + 4 a 2 + 4 a − 12 ( a + 6 ) ( a − 2 ) ​ = = = = = = = = = ​ ∣ ∣ ​ a 2 + b 2 ​ a x p ​ + b y p ​ + c ​ ∣ ∣ ​ ∣ ∣ ​ 1 2 + ( − 1 ) 2 ​ 1 ⋅ 3 + ( − 1 ) ⋅ 1 + a ​ ∣ ∣ ​ ∣ ∣ ​ 1 + 1 ​ 3 − 1 + a ​ ∣ ∣ ​ ∣ ∣ ​ 2 ​ 2 + a ​ ∣ ∣ ​ ( 2 ​ 2 + a ​ ) 2 2 4 + 4 a + a 2 ​ 16 0 0 ​ Karena hasil perkalian selalu sama dengan 0 , maka diperoleh a + 6 = 0 dan a − 2 = 0 . Ketika a + 6 = 0 , maka a = − 6 . Ketika a − 2 = 0 , maka a = 2 . Sehingga garis y = x + a akan menyinggung lingkaran x 2 + y 2 − 6 x − 2 y + 2 = 0 haruslah a = − 6 atau a = 2 . Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah D.