Pertanyaan

Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y 2 − 2 x + 4 y = 0 yang sejajar dengan garis yang menghubungkan pusat lingkaran dan titik pusat koordinat adalah ....

Salah satu persamaan garis singgung lingkaran $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y = 0$ yang sejajar dengan garis yang menghubungkan pusat lingkaran dan titik pusat koordinat adalah ....

$2 x + y + 3 = 0$
$2 x + y + 4 = 0$
$2 x + y + 5 = 0$
$2 x + y + 6 = 0$
$2 x + y + 8 = 0$

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

E. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang benar adalah C.

Pembahasan

Ingat! Lingkaran yang berpusat di ( a , b ) dan menyinggung garis A x + B y + C = 0 mempunyai jari-jari: r = ∣ ∣ A 2 + B 2 A a + B b + C ∣ ∣ Persamaan lingkaran L ≡ x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 berpusat di titik ( − 2 A , − 2 B ) dan berjari-jari r = 4 1 A 2 + 4 1 B 2 − C . Berdasarkan konsep tersebut makalingkaran x 2 + y 2 − 2 x + 4 y = 0 berpusat di titik ( − 2 A , − 2 B ) = ( − 2 − 2 , − 2 4 ) = ( 1 , − 2 ) dan berjari-jari r = = = = = 4 1 A 2 + 4 1 B 2 − C 4 1 ( − 2 ) 2 + 4 1 ( 4 ) 2 − 0 4 1 ⋅ 4 + 4 1 ⋅ 16 1 + 4 5 Garis yang menghubungkan pusat lingkaran di titik ( 1 , − 2 ) dan titik pusat koordinat ( 0 , 0 ) mempunyai gradien m = 1 − 0 − 2 − 0 = − 2 , sehingga garis yang sejajar juga memiliki gradien yang sama yaitu m = − 2 . Misalgaris tersebut dengan lingkaran bersinggungan di titik ( a , b ) dan bergradien m = − 2 , maka persamaan garisnya adalah y − b y − b y − b y = = = = m ( x − a ) − 2 ( x − a ) − 2 x + 2 a − 2 x + 2 a + b Lingkaran yang berpusat di ( 1 , − 2 ) dan menyinggung garis y = − 2 x + 2 a + b ⇔ 2 x + y − 2 a − b = 0 mempunyai jari-jari: r 5 5 5 5 ⋅ 5 5 = = = = = = ∣ ∣ A 2 + B 2 A a + B b + C ∣ ∣ ∣ ∣ 2 2 + 1 2 2 ⋅ 1 + 1 ⋅ ( − 2 ) − 2 a − b ∣ ∣ ∣ ∣ 4 + 1 2 − 2 − 2 a − b ∣ ∣ ∣ ∣ 5 − 2 a − b ∣ ∣ ∣ − 2 a − b ∣ ∣ − 2 a − b ∣ Berdasarkan definisi nilai mutlak maka ∣ − 2 a − b ∣ − 2 a − b 2 a + b = = = 5 5 − 5 atau ∣ − 2 a − b ∣ − ( − 2 a − b ) 2 a + b = = = 5 5 5 Misal titik singgung garis dengan lingkaran adalah ( a , b ) maka jari-jari lingkaran merupakan jarak titik pusat ( 1 , − 2 ) ke titik singgung ( a , b ) yaitu r 5 5 = = = ( 1 − a ) 2 + ( − 2 − b ) 2 ( 1 − a ) 2 + ( − 2 − b ) 2 ( 1 − a ) 2 + ( − 2 − b ) 2 Substitusikan nilai b = − 5 − 2 a ke persamaan 5 = ( 1 − a ) 2 + ( − 2 − b ) 2 menjadi 5 5 5 5 5 0 0 0 0 = = = = = = = = = ( 1 − a ) 2 + ( − 2 − b ) 2 ( 1 − a ) 2 + ( − 2 − ( − 5 − 2 a ) ) 2 ( 1 − a ) 2 + ( − 2 + 5 + 2 a ) 2 ( 1 − a ) 2 + ( 3 + 2 a ) 2 1 − 2 a + a 2 + 9 + 12 a + 4 a 2 5 a 2 + 10 a + 1 + 9 − 5 5 a 2 + 10 a + 5 a 2 + 2 a + 1 ( a + 1 ) 2 Diperoleh untuk nilai a = − 1 maka ∣ − 2 a − b ∣ ∣ − 2 ⋅ ( − 1 ) − b ∣ ∣ 2 − b ∣ ∣ 2 − b ∣ = = = = 5 5 5 5 2 − b = 5 ⇔ b = − 3 . Titik singgung garis yang dimaksud adalah ( − 1 , − 3 ) . Persamaan garis yang melalui ( − 1 , − 3 ) dan bergradien m = − 2 adalah y − ( − 3 ) y + 3 y + 3 2 x + y + 5 = = = = m ( x − ( − 1 ) ) − 2 ( x + 1 ) − 2 x − 2 0 Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah C.

Ingat!

Lingkaran yang berpusat di $(a, b)$ dan menyinggung garis $A x + B y + C = 0$ mempunyai jari-jari:

$r = ∣ ∣ \frac{A a + B b + C}{A ^{2} + B ^{2}} ∣ ∣$

Persamaan lingkaran $L \equiv x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$ berpusat di titik $(- \frac{A}{2}, - \frac{B}{2})$ dan berjari-jari $r = \frac{1}{4} A^{2} + \frac{1}{4} B^{2} - C$ .

Berdasarkan konsep tersebut maka lingkaran $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y = 0$ berpusat di titik $(- \frac{A}{2}, - \frac{B}{2}) = (- \frac{- 2}{2}, - \frac{4}{2}) = (1, - 2)$ dan berjari-jari

$r = = = = = \frac{1}{4} A^{2} + \frac{1}{4} B^{2} - C \frac{1}{4} (- 2)^{2} + \frac{1}{4} (4)^{2} - 0 \frac{1}{4} \cdot 4 + \frac{1}{4} \cdot 16 1 + 4 5$

Garis yang menghubungkan pusat lingkaran di titik $(1, - 2)$ dan titik pusat koordinat $(0, 0)$ mempunyai gradien $m = \frac{- 2 - 0}{1 - 0} = - 2$ , sehingga garis yang sejajar juga memiliki gradien yang sama yaitu $m = - 2$ .

Misal garis tersebut dengan lingkaran bersinggungan di titik $(a, b)$ dan bergradien $m = - 2$ , maka persamaan garisnya adalah

$y - b y - b y - b y = = = = m (x - a) - 2 (x - a) - 2 x + 2 a - 2 x + 2 a + b$

Lingkaran yang berpusat di $(1, - 2)$ dan menyinggung garis $y = - 2 x + 2 a + b \Leftrightarrow 2 x + y - 2 a - b = 0$ mempunyai jari-jari:

$r 555 5 \cdot 5 5 = = = = = = ∣ ∣ \frac{A a + B b + C}{A ^{2} + B ^{2}} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{2 \cdot 1 + 1 \cdot ( - 2 ) - 2 a - b}{2 ^{2} + 1 ^{2}} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{2 - 2 - 2 a - b}{4 + 1} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{- 2 a - b}{5} ∣ ∣ ∣ - 2 a - b ∣ ∣ - 2 a - b ∣$

Berdasarkan definisi nilai mutlak maka

$∣ - 2 a - b ∣ - 2 a - b 2 a + b = = = 55 - 5$

atau

$∣ - 2 a - b ∣ - (- 2 a - b) 2 a + b = = = 555$

Misal titik singgung garis dengan lingkaran adalah $(a, b)$ maka jari-jari lingkaran merupakan jarak titik pusat $(1, - 2)$ ke titik singgung $(a, b)$ yaitu

$r 55 = = = (1 - a)^{2} + (- 2 - b)^{2} (1 - a)^{2} + (- 2 - b)^{2} (1 - a)^{2} + (- 2 - b)^{2}$

Substitusikan nilai $b = - 5 - 2 a$ ke persamaan $5 = (1 - a)^{2} + (- 2 - b)^{2}$ menjadi

$555550000 = = = = = = = = = (1 - a)^{2} + (- 2 - b)^{2} (1 - a)^{2} + (- 2 - (- 5 - 2 a))^{2} (1 - a)^{2} + (- 2 + 5 + 2 a)^{2} (1 - a)^{2} + (3 + 2 a)^{2} 1 - 2 a + a^{2} + 9 + 12 a + 4 a^{2} 5 a^{2} + 10 a + 1 + 9 - 5 5 a^{2} + 10 a + 5 a^{2} + 2 a + 1 (a + 1)^{2}$