Iklan

Iklan

Pertanyaan

Suatu gunung api sedang mengalami erupsi dan mengakibatkan beberapa wilayah di sekitarnya terkena banjir lahar dingin serta hujan abu. Melalui citra satelit, didapatkan peta wilayah terdampak banjir lahar dingin dan hujan abu seperti gambar di samping. Jika peta wilayah terdampak erupsi gunung tersebut dinyatakan dalam persamaan lingkaran (dengan satuan kilometer), maka bagaimana persamaan lingkaran tersebut? Hitunglah pula luas wilayah yang terkena hujan abu tetapi tidak terdampak banjir lahar dingin.

Suatu gunung api sedang mengalami erupsi dan mengakibatkan beberapa wilayah di sekitarnya terkena banjir lahar dingin serta hujan abu. Melalui citra satelit, didapatkan peta wilayah terdampak banjir lahar dingin dan hujan abu seperti gambar di samping. Jika peta wilayah terdampak erupsi gunung tersebut dinyatakan dalam persamaan lingkaran (dengan satuan kilometer), maka bagaimana persamaan lingkaran tersebut? Hitunglah pula luas wilayah yang terkena hujan abu tetapi tidak terdampak banjir lahar dingin.

Iklan

A. Acfreelance

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

luas wilayah yang terkena hujan abu tetapi tidak terdampak banjir lahar dingin adalah 150 , 72 km 2 .

luas wilayah yang terkena hujan abu tetapi tidak terdampak banjir lahar dingin adalah  

Iklan

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah x 2 + y 2 − 8 x − 48 = 0 sebagai persamaan wilayah yang terdampak hujan abu, x 2 + y 2 − 8 x − 8 y + 16 = 0 sebagai persamaan wilayah yang terdampak banjir lahar dingin, dan luas wilayah yang terkena hujan abu tetapi tidak terdampak banjir lahar dingin adalah 150 , 72 km 2 Ingat Bentuk umum persamaan lingkaran dengan pusat ( a , b ) adalah sebagai berikut: x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 Jari-jari lingkaran adalah sebagai berikut: r ​ = ​ ( − 2 1 ​ A ) 2 + ( − 2 1 ​ B ) 2 − C ​ ​ Luaslingkaran dengan r sebagai jari-jarinya adalah sebagai berikut: L = π r 2 Berdasarkan gambar diperoleh titik yang dilalui lingkaran besar ( L 1 ​ ) adalah ( − 4 , 0 ) , ( 12 , 0 ) , dan ( 4 , 8 ) . Substitusi titik ( − 4 , 0 ) , ( 12 , 0 ) , dan ( 4 , 8 ) ke dalam persamaan umum lingkaran, sehingga diperoleh perhitungan sebagai berikut: Titik ( − 4 , 0 ) ( − 4 ) 2 + 0 2 + A ( − 4 ) + B ( 0 ) + C 16 − 4 A + C − 4 A + C ​ = = = ​ 0 0 − 16 ( Persamaan 1 ) ​ Titik ( 12 , 0 ) ( 12 ) 2 + 0 2 + A ( 12 ) + B ( 0 ) + C 144 + 12 A + C 12 A + C ​ = = = ​ 0 0 − 144 ( Persamaan 2 ) ​ Titik ( 4 , 8 ) 4 2 + 8 2 + A ( 4 ) + B ( 8 ) + C 16 + 64 + 4 A + 8 B + C 4 A + 8 B + C ​ = = = ​ 0 0 − 80 ( Persamaan 3 ) ​ Eliminasi persamaan 1 dan persamaan 2. ​​​​ − 4 A + C = − 16 12 A + C = − 144 − − 16 A = 128 A = − 16 128 ​ A = − 8 ​ ​ Substitusi nilai A ke persamaan 1. − 4 ( − 8 ) + C 32 + C C C ​ = = = = ​ − 16 − 16 − 16 − 32 − 48 ​ Substitusi nilai A dan B ke persamaan 3. 4 ( − 8 ) + 8 B + ( − 48 ) − 32 + 8 B − 48 8 B − 80 8 B 8 B B ​ = = = = = = ​ − 80 − 80 − 80 − 80 + 80 0 0 ​ Dengan demikian persamaan lingkaran wilayah terdampak hujan abu adalah x 2 + y 2 − 8 x − 48 = 0 . Berdasarkan gambar diperoleh titik yang dilalui lingkaran kecil ( L 2 ​ ) adalah ( 4 , 0 ) , ( 0 , 4 ) , dan ( 4 , 8 ) . Substitusi titik ( 4 , 0 ) , ( 0 , 4 ) , dan ( 4 , 8 ) ke dalam persamaan umum lingkaran, sehingga diperoleh perhitungan sebagai berikut: Titik ( 4 , 0 ) 4 2 + 0 2 + A ( 4 ) + B ( 0 ) + C 16 + 4 A + C C ​ = = = ​ 0 0 − 4 A − 16 ( Persamaan 4 ) ​ Titik ( 0 , 4 ) 0 2 + 4 2 + A ( 0 ) + B ( 4 ) + C 16 + 4 B + C 4 B + C ​ = = = ​ 0 0 − 16 ( Persamaan 5 ) ​ Titik ( 4 , 8 ) 4 2 + 8 2 + A ( 4 ) + B ( 8 ) + C 16 + 64 + 4 A + 8 B + C 4 A + 8 B + C ​ = = = ​ 0 0 − 80 ( Persamaan 6 ) ​ Substitusi persamaan 4 ke persamaan 5. 4 B + C 4 B + ( − 4 A − 16 ) 4 B − 4 A 4 B − 4 A 4 B 4 4 ​ B B ​ = = = = = = = ​ − 16 − 16 − 16 + 16 0 4 A 4 4 ​ A A ​ Substitusi nilai B dengan A ke persamaan 6. 4 A + 8 B + C 4 A + 8 A + C 12 A + C ​ = = = ​ − 80 − 80 − 80 ( Persamaan 7 ) ​ Substitusi nilai C dengan persamaan 4 ke persamaan 7. 12 A + C 12 A + ( − 4 A − 16 ) 8 A 8 A A A ​ = = = = = = ​ − 80 − 80 − 80 + 16 − 64 8 − 64 ​ − 8 ​ Jadi,nilai C adalah sebagai berikut: C C C C ​ = = = = ​ − 4 A − 16 − 4 ( − 32 ) − 16 32 − 16 16 ​ Dengan demikian persamaan lingkaran wilayah terdampak banjir lahar dingin adalah x 2 + y 2 − 8 x − 8 y + 16 = 0 . Lingkaran besar ( L 1 ​ ) memiliki persamaan x 2 + y 2 − 8 x − 48 = 0 maka jari-jarinya adalah sebagai berikut: Lingkaran kecil ( L 2 ​ ) memiliki persamaan x 2 + y 2 − 8 x − 8 y + 16 = 0 maka jari-jarinya adalah sebagai berikut: Selisih luas lingkaran besar dan lingkaran kecil adalahsebagai berikut: Dengan demikian luas wilayah yang terkena hujan abu tetapi tidak terdampak banjir lahar dingin adalah 150 , 72 km 2 .

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah  sebagai persamaan wilayah yang terdampak hujan abu,  sebagai persamaan wilayah yang terdampak banjir lahar dingin, dan luas wilayah yang terkena hujan abu tetapi tidak terdampak banjir lahar dingin adalah 

Ingat

  • Bentuk umum persamaan lingkaran dengan pusat adalah sebagai berikut:

 

  • Jari-jari lingkaran adalah sebagai berikut:

  • Luas lingkaran dengan  sebagai jari-jarinya adalah sebagai berikut:

 

Berdasarkan gambar diperoleh titik yang dilalui lingkaran besar  adalah , , dan .

Substitusi titik , , dan  ke dalam persamaan umum lingkaran, sehingga diperoleh perhitungan sebagai berikut:

  • Titik 

  • Titik  

         

  • Titik  

Eliminasi persamaan 1 dan persamaan 2.

 ​​​​

Substitusi nilai  ke persamaan 1.

 

Substitusi nilai  dan  ke persamaan 3.

 

Dengan demikian persamaan lingkaran wilayah terdampak hujan abu adalah  .


Berdasarkan gambar diperoleh titik yang dilalui lingkaran kecil  adalah , , dan .
Substitusi titik , , dan  ke dalam persamaan umum lingkaran, sehingga diperoleh perhitungan sebagai berikut:

  •  Titik  

           

  • Titik  

  • Titik  

Substitusi persamaan 4 ke persamaan 5.

 

Substitusi nilai  dengan  ke persamaan 6.

    

Substitusi nilai  dengan persamaan 4 ke persamaan 7.

 

Jadi, nilai  adalah sebagai berikut: 

 

Dengan demikian persamaan lingkaran wilayah terdampak banjir lahar dingin adalah 

Lingkaran besar  memiliki persamaan  maka jari-jarinya adalah sebagai berikut: 

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell r subscript 1 end cell equals cell square root of open parentheses negative 1 half open parentheses negative 8 close parentheses close parentheses squared plus blank open parentheses negative 1 half open parentheses 0 close parentheses close parentheses squared minus open parentheses negative 48 close parentheses end root end cell row cell r subscript 1 end cell equals cell square root of left parenthesis 4 right parenthesis squared plus blank left parenthesis 0 right parenthesis squared plus 48 end root end cell row cell r subscript 1 end cell equals cell square root of 16 plus 48 end root end cell row cell r subscript 1 end cell equals cell square root of 64 end cell row cell r subscript 1 end cell equals 8 end table  

Lingkaran kecil  memiliki persamaan  maka jari-jarinya adalah sebagai berikut:

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell r subscript 2 end cell equals cell square root of open parentheses negative 1 half open parentheses negative 8 close parentheses close parentheses squared plus blank open parentheses negative 1 half open parentheses negative 8 close parentheses close parentheses squared minus 16 end root end cell row cell r subscript 2 end cell equals cell square root of left parenthesis 4 right parenthesis squared plus blank left parenthesis 4 right parenthesis squared minus 16 end root end cell row cell r subscript blank end cell equals cell square root of 16 plus 16 minus 16 end root end cell row cell r subscript 2 end cell equals cell square root of 16 end cell row cell r subscript 2 end cell equals 4 row blank blank blank end table 

Selisih luas lingkaran besar dan lingkaran kecil adalah sebagai berikut:

L equals L subscript 1 minus L subscript 2 L equals pi r subscript 1 squared minus pi r subscript 2 squared L equals open parentheses 3 , 14 close parentheses open parentheses 8 close parentheses squared minus open parentheses 3 , 14 close parentheses open parentheses 4 close parentheses squared L equals 200 , 96 minus 50 , 24 L equals 150 , 72 

Dengan demikian luas wilayah yang terkena hujan abu tetapi tidak terdampak banjir lahar dingin adalah  

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

21

Iklan

Iklan

Pertanyaan serupa

Pada gambar berikut, AOB adalah setengah lingkaran berpusat di D , dan AEB ialah busur lingkaran berpusat di C ( 10 , 11 ) . Persamaan garis AB diketahui 12 x ​ + 16 y ​ = 1 . Hitunglah: a. l...

2

5.0

Jawaban terverifikasi

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Roboguru

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Download di Google PlayDownload di AppstoreDownload di App Gallery

Produk Ruangguru

Hubungi Kami

Ruangguru WhatsApp

+62 815-7441-0000

Email info@ruangguru.com

info@ruangguru.com

Contact 02140008000

02140008000

Ikuti Kami

©2024 Ruangguru. All Rights Reserved PT. Ruang Raya Indonesia