Suatu gunung api sedang mengalami erupsi dan mengakibatkan beberapa wilayah di sekitarnya terkena banjir lahar dingin serta hujan abu. Melalui citra satelit, didapatkan peta wilayah terdampak banjir lahar dingin dan hujan abu seperti gambar di samping. Jika peta wilayah terdampak erupsi gunung tersebut dinyatakan dalam persamaan lingkaran (dengan satuan kilometer), maka bagaimana persamaan lingkaran tersebut? Hitunglah pula luas wilayah yang terkena hujan abu tetapi tidak terdampak banjir lahar dingin.

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah x 2 + y 2 − 8 x − 48 = 0 sebagai persamaan wilayah yang terdampak hujan abu, x 2 + y 2 − 8 x − 8 y + 16 = 0 sebagai persamaan wilayah yang terdampak banjir lahar dingin, dan luas wilayah yang terkena hujan abu tetapi tidak terdampak banjir lahar dingin adalah 150 , 72 km 2 Ingat Bentuk umum persamaan lingkaran dengan pusat ( a , b ) adalah sebagai berikut: x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 Jari-jari lingkaran adalah sebagai berikut: r ​ = ​ ( − 2 1 ​ A ) 2 + ( − 2 1 ​ B ) 2 − C ​ ​ Luaslingkaran dengan r sebagai jari-jarinya adalah sebagai berikut: L = π r 2 Berdasarkan gambar diperoleh titik yang dilalui lingkaran besar ( L 1 ​ ) adalah ( − 4 , 0 ) , ( 12 , 0 ) , dan ( 4 , 8 ) . Substitusi titik ( − 4 , 0 ) , ( 12 , 0 ) , dan ( 4 , 8 ) ke dalam persamaan umum lingkaran, sehingga diperoleh perhitungan sebagai berikut: Titik ( − 4 , 0 ) ( − 4 ) 2 + 0 2 + A ( − 4 ) + B ( 0 ) + C 16 − 4 A + C − 4 A + C ​ = = = ​ 0 0 − 16 ( Persamaan 1 ) ​ Titik ( 12 , 0 ) ( 12 ) 2 + 0 2 + A ( 12 ) + B ( 0 ) + C 144 + 12 A + C 12 A + C ​ = = = ​ 0 0 − 144 ( Persamaan 2 ) ​ Titik ( 4 , 8 ) 4 2 + 8 2 + A ( 4 ) + B ( 8 ) + C 16 + 64 + 4 A + 8 B + C 4 A + 8 B + C ​ = = = ​ 0 0 − 80 ( Persamaan 3 ) ​ Eliminasi persamaan 1 dan persamaan 2. ​​​​ − 4 A + C = − 16 12 A + C = − 144 − − 16 A = 128 A = − 16 128 ​ A = − 8 ​ ​ Substitusi nilai A ke persamaan 1. − 4 ( − 8 ) + C 32 + C C C ​ = = = = ​ − 16 − 16 − 16 − 32 − 48 ​ Substitusi nilai A dan B ke persamaan 3. 4 ( − 8 ) + 8 B + ( − 48 ) − 32 + 8 B − 48 8 B − 80 8 B 8 B B ​ = = = = = = ​ − 80 − 80 − 80 − 80 + 80 0 0 ​ Dengan demikian persamaan lingkaran wilayah terdampak hujan abu adalah x 2 + y 2 − 8 x − 48 = 0 . Berdasarkan gambar diperoleh titik yang dilalui lingkaran kecil ( L 2 ​ ) adalah ( 4 , 0 ) , ( 0 , 4 ) , dan ( 4 , 8 ) . Substitusi titik ( 4 , 0 ) , ( 0 , 4 ) , dan ( 4 , 8 ) ke dalam persamaan umum lingkaran, sehingga diperoleh perhitungan sebagai berikut: Titik ( 4 , 0 ) 4 2 + 0 2 + A ( 4 ) + B ( 0 ) + C 16 + 4 A + C C ​ = = = ​ 0 0 − 4 A − 16 ( Persamaan 4 ) ​ Titik ( 0 , 4 ) 0 2 + 4 2 + A ( 0 ) + B ( 4 ) + C 16 + 4 B + C 4 B + C ​ = = = ​ 0 0 − 16 ( Persamaan 5 ) ​ Titik ( 4 , 8 ) 4 2 + 8 2 + A ( 4 ) + B ( 8 ) + C 16 + 64 + 4 A + 8 B + C 4 A + 8 B + C ​ = = = ​ 0 0 − 80 ( Persamaan 6 ) ​ Substitusi persamaan 4 ke persamaan 5. 4 B + C 4 B + ( − 4 A − 16 ) 4 B − 4 A 4 B − 4 A 4 B 4 4 ​ B B ​ = = = = = = = ​ − 16 − 16 − 16 + 16 0 4 A 4 4 ​ A A ​ Substitusi nilai B dengan A ke persamaan 6. 4 A + 8 B + C 4 A + 8 A + C 12 A + C ​ = = = ​ − 80 − 80 − 80 ( Persamaan 7 ) ​ Substitusi nilai C dengan persamaan 4 ke persamaan 7. 12 A + C 12 A + ( − 4 A − 16 ) 8 A 8 A A A ​ = = = = = = ​ − 80 − 80 − 80 + 16 − 64 8 − 64 ​ − 8 ​ Jadi,nilai C adalah sebagai berikut: C C C C ​ = = = = ​ − 4 A − 16 − 4 ( − 32 ) − 16 32 − 16 16 ​ Dengan demikian persamaan lingkaran wilayah terdampak banjir lahar dingin adalah x 2 + y 2 − 8 x − 8 y + 16 = 0 . Lingkaran besar ( L 1 ​ ) memiliki persamaan x 2 + y 2 − 8 x − 48 = 0 maka jari-jarinya adalah sebagai berikut: Lingkaran kecil ( L 2 ​ ) memiliki persamaan x 2 + y 2 − 8 x − 8 y + 16 = 0 maka jari-jarinya adalah sebagai berikut: Selisih luas lingkaran besar dan lingkaran kecil adalahsebagai berikut: Dengan demikian luas wilayah yang terkena hujan abu tetapi tidak terdampak banjir lahar dingin adalah 150 , 72 km 2 .