Pertanyaan

Semua bilangan real x yang memenuhi ∣ x − 2 ∣ 1 < 1 − x 1 adalah .... (SBMPTN 2016)

Semua bilangan real $x$ yang memenuhi $\frac{1}{∣ x - 2 ∣} < \frac{1}{1 - x}$ adalah .... (SBMPTN 2016)

atau
atau

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

K. Putri

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pendidikan Ganesha

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah A.

Pembahasan

Kita perhatikan bahwa karena ,makaberlaku . Pada soal diberikan . Karena , haruslah berlaku . Oleh karena itu, kita punya syarat bahwa haruslah . Perhatikan bahwa tanda di kedua ruas pada pertidaksamaan sama-sama positif, sehingga jika kedua ruasnya dikali dengan , kita peroleh Kemudian, jika kedua ruasnya dikali dengan , maka didapat Karena kedua ruas pada pertidaksamaan di atas sama-sama positif, maka dapat kita kuadratkan kedua ruasnya tanpa mengubah tanda pertidaksamaannya, sehingga didapat Dari hasil di atas, kita peroleh penyelesaiannya adalah . Namun, hasil ini harus kita iris lagi dengan syarat yang sebelumnya sudah disebutkan, yaitu Perhatikan garis bilangan berikut! Dari gambar di atas, kita peroleh daerah irisannya adalah daerah yang diarsir, yaitu . Dengan demikian, semua bilangan real yang memenuhi pertidaksamaan adalah . Jadi, jawaban yang tepat adalah A.

Kita perhatikan bahwa karena , maka berlaku $begin mathsize 14px style fraction numerator 1 over denominator open vertical bar x minus 2 close vertical bar end fraction greater than 0 end style$ .

Pada soal diberikan $begin mathsize 14px style fraction numerator 1 over denominator open vertical bar x minus 2 close vertical bar end fraction less than fraction numerator 1 over denominator 1 minus x end fraction end style$ .

Karena $begin mathsize 14px style fraction numerator 1 over denominator open vertical bar x minus 2 close vertical bar end fraction greater than 0 end style$ , haruslah berlaku $begin mathsize 14px style fraction numerator 1 over denominator 1 minus x end fraction greater than 0 end style$ .

Oleh karena itu, kita punya syarat bahwa haruslah .

Perhatikan bahwa tanda di kedua ruas pada pertidaksamaan $begin mathsize 14px style fraction numerator 1 over denominator open vertical bar x minus 2 close vertical bar end fraction less than fraction numerator 1 over denominator 1 minus x end fraction end style$ sama-sama positif, sehingga jika kedua ruasnya dikali dengan , kita peroleh

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell fraction numerator open vertical bar x minus 2 close vertical bar over denominator open vertical bar x minus 2 close vertical bar end fraction end cell less than cell fraction numerator open vertical bar x minus 2 close vertical bar over denominator 1 minus x end fraction end cell row 1 less than cell fraction numerator open vertical bar x minus 2 close vertical bar over denominator 1 minus x end fraction end cell end table end style$

Kemudian, jika kedua ruasnya dikali dengan , maka didapat

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 1 minus x end cell less than cell fraction numerator open vertical bar x minus 2 close vertical bar over denominator 1 minus x end fraction times open parentheses 1 minus x close parentheses end cell row cell 1 minus x end cell less than cell open vertical bar x minus 2 close vertical bar end cell end table end style$

Karena kedua ruas pada pertidaksamaan di atas sama-sama positif, maka dapat kita kuadratkan kedua ruasnya tanpa mengubah tanda pertidaksamaannya, sehingga didapat

Dari hasil di atas, kita peroleh penyelesaiannya adalah .

Namun, hasil ini harus kita iris lagi dengan syarat yang sebelumnya sudah disebutkan, yaitu

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 1 minus x end cell greater than 0 row cell negative x end cell greater than cell negative 1 end cell row x less than 1 end table end style

Perhatikan garis bilangan berikut!

Dari gambar di atas, kita peroleh daerah irisannya adalah daerah yang diarsir, yaitu .

Dengan demikian, semua bilangan real yang memenuhi pertidaksamaan $begin mathsize 14px style fraction numerator 1 over denominator open vertical bar x minus 2 close vertical bar end fraction less than fraction numerator 1 over denominator 1 minus x end fraction end style$ adalah .

Jadi, jawaban yang tepat adalah A.