Sebuah kampanye iklan suatu produk baru ditargetkan membuat 30 persen penduduk dewasa sebuah kota metropolitan memerhatikan produk itu. Sesudah kampanye, suatu sampel acak dari 525 orang dewasa ditemui. a. Tentukan perkiraan probabilitas bahwa 130 atau lebih sedikit orang dewasa dalam sampel memerhatikan produk itu. b. Akankah perkiraan probabilitas pada poin a tepat?

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalahprobabilitas diperkirakan 0 , 0044 dan perkiraan probabilitas pada poin a adalah tepat. Pendekatan Distribusi Binomial dengan Distribusi Normal Misalkan suatu eksperimen dari n percobaan dimana peluang sukses untuk tiap percobaan adalah dan peluang gagalnya adalah q dengan q = 1 − p memenuhi distribusi binomial, maka secara matematis nilai rata-rata (mean) μ dan simpangan baku σ sebagai berikut: μ σ ​ = = ​ n p n pq ​ ​ Dari soal di atas, diketahui banyak percobaan adalah n = 525 dan peluang sukses p = 30% = 0 , 3 . Sehingga peluang gagal q = 1 − p = 1 − 0 , 3 = 0 , 7 . Eksperimen ini tergolong distribusi binomial dengan nilai rata-rata (mean) dan simpangan baku sebagai berikut: μ σ ​ = = = = = = = ​ n p ( 575 ) ( 0 , 3 ) 157 , 5 n pq ​ 157 , 5 ( 0 , 7 ) ​ 110 , 25 ​ 10 , 5 ​ a. Ditanyakanperkiraan probabilitas bahwa 130 atau lebih sedikit orang dewasa dalam sampel memerhatikan produk itu. Variabel acak X ∼ N ( μ , σ ) dapat ditransformasikan menjadi Z ∼ N ( 0 , 1 ) dengan rumus transformasi Z = σ X − μ ​ . Variabel acak X berdistribusi normal dengan μ = 157 , 5 dan σ = 10 , 5 . Ditanyakan P ( X ≤ 130 ) yang artinya X = 130 . Hitung dahulu Z : Z ​ = = = = ​ σ X − μ ​ 10 , 5 130 − 157 , 5 ​ 10 , 5 − 27 , 5 ​ − 2 , 62 ​ Diperoleh P ( X ≤ 130 ) = P ( Z ≤ − 2 , 62 ) . Ingat sifat berikut! Bentuk P ( Z < a ) = P ( Z ≤ a ) dengan bilangan negatif, maka P ( Z < a ) = P ( Z > ∣ a ∣ ) = 0 , 5 − P ( 0 < Z < ∣ a ∣ ) dengan P ( 0 < Z < ∣ a ∣ ) diperoleh dari tabel distribusi normal baku. Dengan menggunakan sifat di atas diperoleh: P ( Z ≤ − 2 , 62 ) ​ = = = = = ​ P ( Z > ∣ − 2 , 62 ∣ ) P ( Z > 2 , 62 ) 0 , 5 − P ( 0 < Z < 2 , 62 ) 0 , 5 − 0 , 4956 0 , 0044 ​ Diperoleh probabilitas bahwa 130 atau lebih sedikit orang dewasa dalam sampel yang memerhatikan produk baru itu diperkirakan 0 , 0044 . b. Perkiraan probabilitas pada poin a Pendekatan distribusi normal terhadap distribusi binomialmenggunakan mean binomial dan simpangan baku binomial, bisa diterima asalkan nilai mean dan simpangan baku lebih besar daripada 5 . Perhatikan μ = 157 , 5 dan σ = 10 , 5 , keduanya lebih besar daripada 5 . Maka pendekatan distribusi normal terhadap distribusi binomial adalah tepat. Dengan demikian, probabilitas diperkirakan 0 , 0044 dan perkiraan probabilitas pada poin a adalah tepat.