Pertanyaan

Persamaan lingkaran yang melalui titik potong lingkaran ( x − 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 1 dan lingkaran x 2 + y 2 − 3 x + 3 y + 4 = 0 serta menyinggung sumbu x adalah ...

Persamaan lingkaran yang melalui titik potong lingkaran $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 1$ dan lingkaran $x^{2} + y^{2} - 3 x + 3 y + 4 = 0$ serta menyinggung sumbu $x$ adalah ...

$x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y + 4 = 0$
$x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y - 4 = 0$
$x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y - 4 = 0$
$x^{2} + y^{2} + 4 x + 2 y + 4 = 0$
$x^{2} + y^{2} + 4 x + 2 y - 4 = 0$

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

A. Salim

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pelita Harapan

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Misalkan diketahui persamaan lingkaran L 1 ≡ x 2 + y 2 + 2 a x + 2 b y + 2 c = 0 L 2 ≡ x 2 + y 2 + 2 p x + 2 q y + 2 r = 0 berpotongan di 2 titik yakni A dan B . Maka persamaan lingkaran yang melalui titik A dan B dapat dinyatakan sebagai: L 3 ≡ L 1 + p ( L 1 − L 2 ) = 0 Sehingga,pada lingkaran L 1 L 2 ≡ ≡ ≡ ≡ ( x − 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 1 x 2 − 2 x + 1 + y 2 + 4 y + 4 = 1 x 2 + y 2 − 2 x + 4 y + 4 = 0 x 2 + y 2 − 3 x + 3 y + 4 = 0 Terlebih dahulu mencari L 1 − L 2 = 0 . x 2 + y 2 − 2 x + 4 y + 4 = 0 x 2 + y 2 − 3 x + 3 y + 4 = 0 x + y = 0 x = − y − Kemudian, substitusi ke persamaan lingkaran x 2 + y 2 − 2 x + 4 y + 4 ( − y ) 2 + y 2 − 2 ( − y ) + 4 y + 4 y 2 + y 2 + 2 y + 4 y + 4 2 y 2 + 6 y + 4 y 2 + 3 y + 2 ( y + 2 ) ( y + 1 ) = = = = = = 0 0 0 0 0 0 Sehingga, didapat y + 2 y = = 0 − 2 dan y + 1 y = = 0 − 1 Untuk y = − 2 maka x = − y x = − ( − 2 ) x = 2 Untuk y = − 1 maka x = − y x = − ( − 1 ) x = 1 Jadi didapat titik potong dua lingkarannya adalah ( 2 , − 2 ) dan ( 1 , − 1 ) . Misalkan persamaan lingkaran yang melalui dua titik potong tersebut adalah x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 Dengan titik pusat ( − 2 A , − 2 B ) , dan jari - jari r = 4 A 2 + 4 B 2 − C kita substitusikan titik ( 2 , − 2 ) dan ( 1 , − 1 ) jadi Selanjutnya kita eliminasi A dan B pada 2 A − 2 B + C = − 8 dengan A − B + C = − 2 . 2 A − 2 B + C A − B + C = = − 8 − 2 ∣ × 1∣2 A − 2 B + C ∣ × 2∣2 A − 2 B + 2 C − C C = = = = − 8 − 4 − − 4 4 Eliminasi C pada 2 A − 2 B + C = − 8 dengan A − B + C = − 2 . 2 A − 2 B + C A − B + C A − B = = = − 8 − 2 − − 6 Karena menyinggung sumbu- x maka lingkaran akan memiliki jari - jari sebesar r = − 2 B . Sehingga, r − 2 B ( − 2 B ) 2 4 B 2 4 A 2 A 2 A A = = = = = = = = 4 A 2 + 4 B 2 − C 4 A 2 + 4 B 2 − 4 ( 4 A 2 + 4 B 2 − 4 ) 2 4 A 2 + 4 B 2 − 4 4 16 ± 16 ± 4 Untuk A = 4 maka A − B 4 − B − B − B B = = = = = − 6 − 6 − 6 − 4 − 10 10 Sehingga didapat persamaan lingakrannya adalah x 2 + y 2 + 4 x + 10 y + 4 = 0 . Untuk A = − 4 maka A − B − 4 − B − B − B B = = = = = − 6 − 6 − 6 + 4 − 2 2 Sehingga didapat persamaan lingakrannya adalah x 2 + y 2 − 4 x + 2 y + 4 = 0 . Oleh karna itu, jawaban yang benar adalah A.

Misalkan diketahui persamaan lingkaran

$L_{1} \equiv x^{2} + y^{2} + 2 a x + 2 b y + 2 c = 0 L_{2} \equiv x^{2} + y^{2} + 2 p x + 2 q y + 2 r = 0$

berpotongan di $2$ titik yakni $A$ dan $B$ . Maka persamaan lingkaran yang melalui titik $A$ dan $B$ dapat dinyatakan sebagai:

$L_{3} \equiv L_{1} + p (L_{1} - L_{2}) = 0$

Sehingga, pada lingkaran

$L_{1} L_{2} \equiv \equiv \equiv \equiv (x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 1 x^{2} - 2 x + 1 + y^{2} + 4 y + 4 = 1 x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + 4 = 0 x^{2} + y^{2} - 3 x + 3 y + 4 = 0$

Terlebih dahulu mencari $L_{1} - L_{2} = 0$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + 4 = 0 x^{2} + y^{2} - 3 x + 3 y + 4 = 0 x + y = 0 x = - y -$

Kemudian, substitusi ke persamaan lingkaran

$x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + 4 (- y)^{2} + y^{2} - 2 (- y) + 4 y + 4 y^{2} + y^{2} + 2 y + 4 y + 4 2 y^{2} + 6 y + 4 y^{2} + 3 y + 2 (y + 2) (y + 1) = = = = = = 000000$

Sehingga, didapat

$y + 2 y = = 0 - 2$

dan

$y + 1 y = = 0 - 1$

Untuk $y = - 2$ maka

$x = - y x = - (- 2) x = 2$

Untuk $y = - 1$ maka

$x = - y x = - (- 1) x = 1$

Jadi didapat titik potong dua lingkarannya adalah $(2, - 2)$ dan $(1, - 1)$ .

Misalkan persamaan lingkaran yang melalui dua titik potong tersebut adalah

$x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$

Dengan titik pusat $(- \frac{A}{2}, - \frac{B}{2})$ , dan jari - jari $r = \frac{A ^{2}}{4} + \frac{B ^{2}}{4} - C$

kita substitusikan titik $(2, - 2)$ dan $(1, - 1)$ jadi

Selanjutnya kita eliminasi $A$ dan $B$ pada $2 A - 2 B + C = - 8$ dengan $A - B + C = - 2$ .

$2 A - 2 B + C A - B + C = = - 8 - 2 ∣ \times 1∣2 A - 2 B + C ∣ \times 2∣2 A - 2 B + 2 C - C C = = = = - 8 - 4 - - 4 4$

Eliminasi $C$ pada $2 A - 2 B + C = - 8$ dengan $A - B + C = - 2$ .

$2 A - 2 B + C A - B + C A - B = = = - 8 - 2 - - 6$

Karena menyinggung sumbu- $x$ maka lingkaran akan memiliki jari - jari sebesar $r = - \frac{B}{2}$ .
Sehingga,

$r - \frac{B}{2} (- \frac{B}{2})^{2} \frac{B ^{2}}{4} \frac{A ^{2}}{4} A^{2} A A = = = = = = = = \frac{A ^{2}}{4} + \frac{B ^{2}}{4} - C \frac{A ^{2}}{4} + \frac{B ^{2}}{4} - 4 (\frac{A ^{2}}{4} + \frac{B ^{2}}{4} - 4)^{2} \frac{A ^{2}}{4} + \frac{B ^{2}}{4} - 4 416 \pm 16 \pm 4$

Untuk $A = 4$ maka

$A - B 4 - B - B - B B = = = = = - 6 - 6 - 6 - 4 - 10 10$

Sehingga didapat persamaan lingakrannya adalah

$x^{2} + y^{2} + 4 x + 10 y + 4 = 0$ .

Untuk $A = - 4$ maka

$A - B - 4 - B - B - B B = = = = = - 6 - 6 - 6 + 4 - 2 2$

Sehingga didapat persamaan lingakrannya adalah

$x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y + 4 = 0$ .

Oleh karna itu, jawaban yang benar adalah A.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (10 rating)

Aqilla Anindya Putri

Ini yang aku cari!

Pertanyaan serupa

Persamaan tali busur sekutu dari lingkaran x 2 + y 2 = 25 dan lingkaran x 2 + y 2 − 4 x + 6 y − 3 = 0 adalah ...

4.8

Jawaban terverifikasi

Diketahui L 1 ≡ x 2 + y 2 − 6 x + 5 y − 13 = 0 dan L 2 ≡ x 2 + y 2 − 20 x − 2 y − 20 = 0 . a. Tentukan persamaan tali busur sekutu. b. Tentukan persamaan lingkaran L 3 yang melalui titik p...

4.5

Jawaban terverifikasi

The equation of two circles are: L 1 L 2 = = ( x − a ) 2 + y 2 = a 2 and x 2 + ( y − b ) 2 = b 2 Prove that the equation of the circle whose diameter is their common chord is ( a 2 + b...

5.0

Jawaban terverifikasi

Persamaan tali busur sekutu dari lingkaran ( x − 3 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 25 dan lingkaran ( x + 5 ) 2 + ( y − 4 ) 2 = 53 adalah ...

5.0

Jawaban terverifikasi

Garis kuasa (tali busur sekutu) dari lingkaran L 1 ≡ x 2 + y 2 + 6 x − 4 y − 12 = 0 dan L 2 ≡ x 2 + y 2 − 12 y = 0 adalah ....

4.4

Jawaban terverifikasi