Iklan

Pertanyaan

Diketahui L 1 ​ ≡ x 2 + y 2 − 6 x + 5 y − 13 = 0 dan L 2 ​ ≡ x 2 + y 2 − 20 x − 2 y − 20 = 0 . a. Tentukan persamaan tali busur sekutu. b. Tentukan persamaan lingkaran L 3 ​ yang melalui titik potong L 1 ​ dan L 2 ​ serta titik A ( 5 , 1 ) . c. Tunjukkan bahwa ketiga titik pusat mereka kolinear.

Diketahui   dan .

a. Tentukan persamaan tali busur sekutu.

b. Tentukan persamaan lingkaran  yang melalui titik potong  dan  serta titik .

c. Tunjukkan bahwa ketiga titik pusat mereka kolinear.

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

00

:

20

:

13

:

17

Iklan

A. Salim

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pelita Harapan

Jawaban terverifikasi

Jawaban

telah ditunjukkan bahwa ketiga titik pusat lingkaran tersebut adalah kolinear.

telah ditunjukkan bahwa ketiga titik pusat lingkaran tersebut adalah kolinear.

Pembahasan

Misalkan diketahui persamaan lingkaran L 1 ​ ≡ x 2 + y 2 + 2 a x + 2 b y + 2 c = 0 L 2 ​ ≡ x 2 + y 2 + 2 p x + 2 q y + 2 r = 0 maka a. persamaan tali busur sekutu dua lingkaran bisa kita dapatkan dengan rumus: L 1 ​ − L 2 ​ ( a − p ) x + ( b − q ) y + ( c − r ) ​ = = ​ 0 0 ​ Sehingga, persamaan tali busur sekutu dua lingkaran pada lingkaran L 1 ​ L 2 ​ ​ ≡ ≡ ​ x 2 + y 2 − 6 x + 5 y − 13 = 0 x 2 + y 2 − 20 x − 2 y − 20 = 0 ​ adalah L 1 ​ − L 2 ​ = 0 . Jadi, x 2 + y 2 − 6 x + 5 y − 13 x 2 + y 2 − 20 x − 2 y − 20 14 x + 7 y + 7 2 x + y + 1 ​ = = = = ​ 0 0 − 0 0 ​ ​ Dengan demikian, didapat persamaan tali busur sekutunya adalah 2 x + y + 1 = 0 . b. Persamaan lingkaran L 3 ​ yang melalui titik potong L 1 ​ dan L 2 ​ akan memenuhi persamaan L 3 ​ ​ ≡ ≡ ​ L 1 ​ + p ( L 1 ​ − L 2 ​ ) x 2 + y 2 − 6 x + 5 y − 13 + p ( 2 x + y + 1 ) = 0 ​ Karena L 3 ​ melalui titik A ( 5 , 1 ) maka x 2 + y 2 − 6 x + 5 y − 13 + p ( 2 x + y + 1 ) ( 5 ) 2 + ( 1 ) 2 − 6 ( 5 ) + 5 ( 1 ) − 13 + p ( 2 ( 5 ) + ( 1 ) + 1 ) 25 + 1 − 30 + 5 − 13 + p ( 10 + 1 + 1 ) − 12 + p ( 12 ) p ( 12 ) p p ​ = = = = = = = ​ 0 0 0 0 12 12 12 ​ 1 ​ Sehingga, x 2 + y 2 − 6 x + 5 y − 13 + p ( 2 x + y + 1 ) x 2 + y 2 − 6 x + 5 y − 13 + ( 1 ) ( 2 x + y + 1 ) x 2 + y 2 − 6 x + 5 y − 13 + 2 x + y + 1 x 2 + y 2 − 4 x + 6 y − 12 ​ = = = = ​ 0 0 0 0 ​ Dengan demikian, didapat persamaanlingkaran L 3 ​ adalah x 2 + y 2 − 4 x + 6 y − 12 ​ = ​ 0 ​ . c. tunjukkan bahwa ketiga titik pusat mereka kolinear. Ingat jika diketahui tiga titik A,B dan C akan kolinear jika memenuhi AB = k ⋅ BC , dengan AB = B-A . dan titik pusat pada persamaan x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 , memiliki titik pusat ( − 2 A ​ , − 2 B ​ ) Sehingga, Misal: A adalah titik pusat lingkaran L 1 ​ ≡ x 2 + y 2 − 6 x + 5 y − 13 = 0 maka, A ​ = = = ​ ( − 2 A ​ , − 2 B ​ ) ( − 2 ( − 6 ) ​ , − 2 5 ​ ) ( 3 , − 2 5 ​ ) ​ Misal: B adalah titik pusat lingkaran L 2 ​ = x 2 + y 2 − 20 x − 2 y − 20 = 0 maka, B ​ = = = ​ ( − 2 A ​ , − 2 B ​ ) ( − 2 ( − 20 ) ​ , − 2 ( − 2 ) ​ ) ( 10 , 1 ) ​ Misal: C adalah titik pusat lingkaran L 3 ​ ≡ x 2 + y 2 − 4 x + 6 y − 12 = 0 maka, C ​ = = = ​ ( − 2 A ​ , − 2 B ​ ) ( − 2 ( − 4 ) ​ , − 2 ( 6 ) ​ ) ( 2 , − 3 ) ​ Maka, A B ​ = = = ​ B − A ( 10 1 ​ ) − ( 3 − 2 5 ​ ​ ) ( 7 2 7 ​ ​ ) ​ dan, BC ​ = = = ​ C − B ( 2 − 3 ​ ) − ( 10 1 ​ ) ( − 8 − 4 ​ ) ​ Akan ditunjukkan ketiga garis kolinear, maka kita mencari nilai k yang memenuhi, AB ( 7 2 7 ​ ​ ) ​ = = ​ k ⋅ BC k ⋅ ( − 8 − 4 ​ ) ​ Untuk 7 k ​ = = ​ k ⋅ ( − 8 ) − 8 7 ​ ​ Untuk 2 7 ​ k k k ​ = = = = ​ k ⋅ ( − 4 ) − 4 2 7 ​ ​ − 2 ( − 4 ) 7 ​ − 8 7 ​ ​ Karena didapat nilai k yang samasehingga persamaan AB = k ⋅ BC terpenuhi. Dengan demikian, telah ditunjukkan bahwa ketiga titik pusat lingkaran tersebut adalah kolinear.

Misalkan diketahui persamaan lingkaran

 

maka

a. persamaan tali busur sekutu dua lingkaran bisa kita dapatkan dengan rumus:

Sehingga, persamaan tali busur sekutu dua lingkaran pada lingkaran

adalah . Jadi,

Dengan demikian, didapat persamaan tali busur sekutunya adalah .

b. Persamaan lingkaran  yang melalui titik potong  dan  akan memenuhi persamaan

Karena  melalui titik  maka

Sehingga,

Dengan demikian, didapat persamaan lingkaran  adalah .

c. tunjukkan bahwa ketiga titik pusat mereka kolinear.

Ingat jika diketahui tiga titik  dan  akan kolinear jika memenuhi , dengan .

dan titik pusat pada persamaan , memiliki titik pusat 

Sehingga,

Misal:  adalah titik pusat lingkaran  maka,

Misal:  adalah titik pusat lingkaran  maka,

Misal:  adalah titik pusat lingkaran  maka,

Maka,

dan,

Akan ditunjukkan ketiga garis kolinear, maka kita mencari nilai  yang memenuhi,

Untuk 

Untuk 

Karena didapat nilai  yang sama sehingga persamaan  terpenuhi.

Dengan demikian, telah ditunjukkan bahwa ketiga titik pusat lingkaran tersebut adalah kolinear.

Buka akses jawaban yang telah terverifikasi

lock

Yah, akses pembahasan gratismu habis


atau

Dapatkan jawaban pertanyaanmu di AiRIS. Langsung dijawab oleh bestie pintar

Tanya Sekarang

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

6

Halimah

Pembahasan terpotong Pembahasan tidak lengkap

Iklan

Tanya ke AiRIS

Yuk, cobain chat dan belajar bareng AiRIS, teman pintarmu!