Pertanyaan

Diketahui L 1 ≡ x 2 + y 2 − 6 x + 5 y − 13 = 0 dan L 2 ≡ x 2 + y 2 − 20 x − 2 y − 20 = 0 . a. Tentukan persamaan tali busur sekutu. b. Tentukan persamaan lingkaran L 3 yang melalui titik potong L 1 dan L 2 serta titik A ( 5 , 1 ) . c. Tunjukkan bahwa ketiga titik pusat mereka kolinear.

Diketahui $L_{1} \equiv x^{2} + y^{2} - 6 x + 5 y - 13 = 0$ dan $L_{2} \equiv x^{2} + y^{2} - 20 x - 2 y - 20 = 0$ .

a. Tentukan persamaan tali busur sekutu.

b. Tentukan persamaan lingkaran $L_{3}$ yang melalui titik potong $L_{1}$ dan $L_{2}$ serta titik $A (5, 1)$ .

c. Tunjukkan bahwa ketiga titik pusat mereka kolinear.

A. Salim

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pelita Harapan

Jawaban terverifikasi

Jawaban

telah ditunjukkan bahwa ketiga titik pusat lingkaran tersebut adalah kolinear.

Pembahasan

Misalkan diketahui persamaan lingkaran L 1 ≡ x 2 + y 2 + 2 a x + 2 b y + 2 c = 0 L 2 ≡ x 2 + y 2 + 2 p x + 2 q y + 2 r = 0 maka a. persamaan tali busur sekutu dua lingkaran bisa kita dapatkan dengan rumus: L 1 − L 2 ( a − p ) x + ( b − q ) y + ( c − r ) = = 0 0 Sehingga, persamaan tali busur sekutu dua lingkaran pada lingkaran L 1 L 2 ≡ ≡ x 2 + y 2 − 6 x + 5 y − 13 = 0 x 2 + y 2 − 20 x − 2 y − 20 = 0 adalah L 1 − L 2 = 0 . Jadi, x 2 + y 2 − 6 x + 5 y − 13 x 2 + y 2 − 20 x − 2 y − 20 14 x + 7 y + 7 2 x + y + 1 = = = = 0 0 − 0 0 Dengan demikian, didapat persamaan tali busur sekutunya adalah 2 x + y + 1 = 0 . b. Persamaan lingkaran L 3 yang melalui titik potong L 1 dan L 2 akan memenuhi persamaan L 3 ≡ ≡ L 1 + p ( L 1 − L 2 ) x 2 + y 2 − 6 x + 5 y − 13 + p ( 2 x + y + 1 ) = 0 Karena L 3 melalui titik A ( 5 , 1 ) maka x 2 + y 2 − 6 x + 5 y − 13 + p ( 2 x + y + 1 ) ( 5 ) 2 + ( 1 ) 2 − 6 ( 5 ) + 5 ( 1 ) − 13 + p ( 2 ( 5 ) + ( 1 ) + 1 ) 25 + 1 − 30 + 5 − 13 + p ( 10 + 1 + 1 ) − 12 + p ( 12 ) p ( 12 ) p p = = = = = = = 0 0 0 0 12 12 12 1 Sehingga, x 2 + y 2 − 6 x + 5 y − 13 + p ( 2 x + y + 1 ) x 2 + y 2 − 6 x + 5 y − 13 + ( 1 ) ( 2 x + y + 1 ) x 2 + y 2 − 6 x + 5 y − 13 + 2 x + y + 1 x 2 + y 2 − 4 x + 6 y − 12 = = = = 0 0 0 0 Dengan demikian, didapat persamaanlingkaran L 3 adalah x 2 + y 2 − 4 x + 6 y − 12 = 0 . c. tunjukkan bahwa ketiga titik pusat mereka kolinear. Ingat jika diketahui tiga titik A,B dan C akan kolinear jika memenuhi AB = k ⋅ BC , dengan AB = B-A . dan titik pusat pada persamaan x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 , memiliki titik pusat ( − 2 A , − 2 B ) Sehingga, Misal: A adalah titik pusat lingkaran L 1 ≡ x 2 + y 2 − 6 x + 5 y − 13 = 0 maka, A = = = ( − 2 A , − 2 B ) ( − 2 ( − 6 ) , − 2 5 ) ( 3 , − 2 5 ) Misal: B adalah titik pusat lingkaran L 2 = x 2 + y 2 − 20 x − 2 y − 20 = 0 maka, B = = = ( − 2 A , − 2 B ) ( − 2 ( − 20 ) , − 2 ( − 2 ) ) ( 10 , 1 ) Misal: C adalah titik pusat lingkaran L 3 ≡ x 2 + y 2 − 4 x + 6 y − 12 = 0 maka, C = = = ( − 2 A , − 2 B ) ( − 2 ( − 4 ) , − 2 ( 6 ) ) ( 2 , − 3 ) Maka, A B = = = B − A ( 10 1 ) − ( 3 − 2 5 ) ( 7 2 7 ) dan, BC = = = C − B ( 2 − 3 ) − ( 10 1 ) ( − 8 − 4 ) Akan ditunjukkan ketiga garis kolinear, maka kita mencari nilai k yang memenuhi, AB ( 7 2 7 ) = = k ⋅ BC k ⋅ ( − 8 − 4 ) Untuk 7 k = = k ⋅ ( − 8 ) − 8 7 Untuk 2 7 k k k = = = = k ⋅ ( − 4 ) − 4 2 7 − 2 ( − 4 ) 7 − 8 7 Karena didapat nilai k yang samasehingga persamaan AB = k ⋅ BC terpenuhi. Dengan demikian, telah ditunjukkan bahwa ketiga titik pusat lingkaran tersebut adalah kolinear.

Misalkan diketahui persamaan lingkaran

$L_{1} \equiv x^{2} + y^{2} + 2 a x + 2 b y + 2 c = 0 L_{2} \equiv x^{2} + y^{2} + 2 p x + 2 q y + 2 r = 0$

maka

a. persamaan tali busur sekutu dua lingkaran bisa kita dapatkan dengan rumus:

$L_{1} - L_{2} (a - p) x + (b - q) y + (c - r) = = 00$

Sehingga, persamaan tali busur sekutu dua lingkaran pada lingkaran

$L_{1} L_{2} \equiv \equiv x^{2} + y^{2} - 6 x + 5 y - 13 = 0 x^{2} + y^{2} - 20 x - 2 y - 20 = 0$

adalah $L_{1} - L_{2} = 0$ . Jadi,

$x^{2} + y^{2} - 6 x + 5 y - 13 x^{2} + y^{2} - 20 x - 2 y - 20 14 x + 7 y + 7 2 x + y + 1 = = = = 0 0 - 00$

Dengan demikian, didapat persamaan tali busur sekutunya adalah $2 x + y + 1 = 0$ .

b. Persamaan lingkaran $L_{3}$ yang melalui titik potong $L_{1}$ dan $L_{2}$ akan memenuhi persamaan

$L_{3} \equiv \equiv L_{1} + p (L_{1} - L_{2}) x^{2} + y^{2} - 6 x + 5 y - 13 + p (2 x + y + 1) = 0$

Karena $L_{3}$ melalui titik $A (5, 1)$ maka

$x^{2} + y^{2} - 6 x + 5 y - 13 + p (2 x + y + 1) (5)^{2} + (1)^{2} - 6 (5) + 5 (1) - 13 + p (2 (5) + (1) + 1) 25 + 1 - 30 + 5 - 13 + p (10 + 1 + 1) - 12 + p (12) p (12) p p = = = = = = = 000012 \frac{12}{12} 1$

Sehingga,

$x^{2} + y^{2} - 6 x + 5 y - 13 + p (2 x + y + 1) x^{2} + y^{2} - 6 x + 5 y - 13 + (1) (2 x + y + 1) x^{2} + y^{2} - 6 x + 5 y - 13 + 2 x + y + 1 x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - 12 = = = = 0000$

Dengan demikian, didapat persamaan lingkaran $L_{3}$ adalah $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - 12 = 0$ .

c. tunjukkan bahwa ketiga titik pusat mereka kolinear.

Ingat jika diketahui tiga titik $A,B$ dan $C$ akan kolinear jika memenuhi $AB = k \cdot BC$ , dengan $AB = B-A$ .

dan titik pusat pada persamaan $x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$ , memiliki titik pusat $(- \frac{A}{2}, - \frac{B}{2})$

Sehingga,

Misal: $A$ adalah titik pusat lingkaran $L_{1} \equiv x^{2} + y^{2} - 6 x + 5 y - 13 = 0$ maka,

$A = = = (- \frac{A}{2}, - \frac{B}{2}) (- \frac{( - 6 )}{2}, - \frac{5}{2}) (3, - \frac{5}{2})$

Misal: $B$ adalah titik pusat lingkaran $L_{2} = x^{2} + y^{2} - 20 x - 2 y - 20 = 0$ maka,

$B = = = (- \frac{A}{2}, - \frac{B}{2}) (- \frac{( - 20 )}{2}, - \frac{( - 2 )}{2}) (10, 1)$

Misal: $C$ adalah titik pusat lingkaran $L_{3} \equiv x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - 12 = 0$ maka,

$C = = = (- \frac{A}{2}, - \frac{B}{2}) (- \frac{( - 4 )}{2}, - \frac{( 6 )}{2}) (2, - 3)$

Maka,

$A B = = = B - A (101) - (3 - \frac{5}{2}) (7 \frac{7}{2})$

dan,

$BC = = = C - B (2 - 3) - (101) (- 8 - 4)$

Akan ditunjukkan ketiga garis kolinear, maka kita mencari nilai $k$ yang memenuhi,

$AB (7 \frac{7}{2}) = = k \cdot BC k \cdot (- 8 - 4)$

Untuk

$7 k = = k \cdot (- 8) - \frac{7}{8}$

Untuk

$\frac{7}{2} k k k = = = = k \cdot (- 4) \frac{\frac{7}{2}}{- 4} - \frac{7}{2 ( - 4 )} - \frac{7}{8}$

Karena didapat nilai $k$ yang sama sehingga persamaan $AB = k \cdot BC$ terpenuhi.

Dengan demikian, telah ditunjukkan bahwa ketiga titik pusat lingkaran tersebut adalah kolinear.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

4.5 (4 rating)

Halimah

Pembahasan terpotong Pembahasan tidak lengkap

Pertanyaan serupa

Persamaan lingkaran yang melalui titik potong lingkaran x 2 + y 2 − 12 x + 3 y − 24 = 0 dan lingkaran x 2 + y 2 − 4 x − 5 y − 16 = 0 serta titik ( 10 , 0 ) adalah ...

5.0

Jawaban terverifikasi

Persamaan lingkaran yang melalui titik potong lingkaran x 2 + y 2 = 4 dan lingkaran x 2 + y 2 − 2 x − 2 y = 0 serta titik ( 0 , − 4 ) adalah ...

5.0

Jawaban terverifikasi

Persamaan lingkaran yang melalui titik potong dua lingkaran x 2 + y 2 − 6 x − 8 y − 11 = 0 dan x 2 + y 2 − 4 x − 6 y − 22 = 0 serta melalui titik ( 0 , 0 ) adalah ....

5.0

Jawaban terverifikasi

Persamaan lingkaran yang melalui titik potong lingkaran x 2 + y 2 − 12 x + 3 y − 24 = 0 dan lingkaran x 2 + y 2 − 4 x − 5 y − 16 = 0 serta titik ( 10 , 0 ) adalah ...

5.0

Jawaban terverifikasi

Persamaan lingkaran yang melalui titik potong lingkaran x 2 + y 2 = 4 dan lingkaran x 2 + y 2 − 2 x − 2 y = 0 serta titik ( 0 , − 4 ) adalah ...

5.0

Jawaban terverifikasi