Pertanyaan

Persamaan lingkaran yang melalui ( 0 , 5 ) dan ( 6 , 1 ) serta pusatnya terletak pada garis 12 x + 5 y − 25 = 0 adalah ....

Persamaan lingkaran yang melalui $(0, 5)$ dan $(6, 1)$ serta pusatnya terletak pada garis $12 x + 5 y - 25 = 0$ adalah ....

$2 x^{2} + 2 y^{2} - 5 x - 3 y - 25 = 0$
$2 x^{2} + 2 y^{2} - 10 x - 6 y - 45 = 0$
$3 x^{2} + 3 y^{2} - 10 x - 6 y - 45 = 0$
$3 x^{2} + 3 y^{2} - 10 x - 6 y - 45 = 0$
$3 x^{2} + 3 y^{2} - 10 x - 3 y - 45 = 0$

T. Prita

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Jember

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Ingat persamaan lingkaran: ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 Diketahui:lingkaran yang melalui ( 0 , 5 ) dan ( 6 , 1 ) , substitusikan titik-titik tersebut ke persamaan lingkaran. Untuk titik ( 0 , 5 ) ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 ( 0 − a ) 2 + ( 5 − b ) 2 ( a ) 2 + ( 5 − b ) 2 a 2 + 25 − 10 b + b 2 a 2 + b 2 − 10 b + 25 = = = = = r 2 r 2 r 2 r 2 r 2 ... ( 1 ) Untuk titik ( 6 , 1 ) ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 ( 6 − a ) 2 + ( 1 − b ) 2 36 − 12 a + a 2 + 1 − 2 b + b 2 a 2 + b 2 − 12 a − 2 b + 37 = = = = r 2 r 2 r 2 r 2 ... ( 2 ) Selanjutnya r 2 a 2 + b 2 − 10 b + 25 12 a − 10 b + 2 b + 25 − 37 12 a − 8 b − 12 12 a − 8 b = = = = = r 2 a 2 + b 2 − 12 a − 2 b + 37 0 0 12 ... ( 3 ) Misalkan pusat lingkarannya ( a , b ) , karena pusat lingkarannyaterletak pada garis 12 x + 5 y − 25 = 0 sehingga persamaannya menjadi 12 a + 5 b − 25 = 0 . Eliminasi persamaan tersebut dengan persamaan ( 3 ) untuk menentukan nilai b . 12 a − 8 b = 12 12 a + 5 b = 25 − − 13 b b = = − 13 1 Substitusikan b = 1 untuk menentukan nilai ke salah satu persamaan diatas misalnya ke persamaan ( 3 ) . 12 a − 8 b 12 a − 8 ( 1 ) 12 a − 8 12 a a = = = = = 12 12 12 20 12 20 = 3 5 Titik pusat lingkaran diatas adalah ( 3 5 , 1 ) , untuk mencari jari-jari lingkaran substitusikan titik ( 3 5 , 1 ) ke persamaan ( 1 ) atau ( 2 ) . a 2 + b 2 − 10 b + 25 ( 3 5 ) 2 + 1 2 − 10 ( 1 ) + 25 9 25 + 1 − 10 + 25 9 25 + 16 9 25 + 144 9 169 r 2 r r = = = = = = = = = r 2 r 2 r 2 r 2 r 2 r 2 9 169 9 169 3 13 Sehingga persamaan lingkaran melalui titik pusat ( 3 5 , 1 ) dan jari-jari 3 13 sebagai berikut. ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 ( x − 3 5 ) 2 + ( y − 1 ) 2 = ( 3 13 ) 2 x 2 − 3 10 x + 9 25 + y 2 − 2 y + 1 = 9 169 x 2 + y 2 − 3 10 x − 2 y + 9 25 + 1 − 9 169 = 0 x 2 + y 2 − 3 10 x − 2 y + 9 25 + 9 − 169 = 0 x 2 + y 2 − 3 10 x − 2 y − 9 135 = 0 ( ruaskirikanankalikan 9 ) 9 x 2 + 9 y 2 − 30 x − 18 y − 135 = 0 ( ruaskirikananbagi 3 ) 3 x 2 + 3 y 2 − 10 x − 6 y − 45 = 0 Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah C dan D.

Ingat persamaan lingkaran:

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$

Diketahui: lingkaran yang melalui $(0, 5)$ dan $(6, 1)$ , substitusikan titik-titik tersebut ke persamaan lingkaran.

Untuk titik $(0, 5)$

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} (0 - a)^{2} + (5 - b)^{2} (a)^{2} + (5 - b)^{2} a^{2} + 25 - 10 b + b^{2} a^{2} + b^{2} - 10 b + 25 = = = = = r^{2} r^{2} r^{2} r^{2} r^{2} ... (1)$

Untuk titik $(6, 1)$

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} (6 - a)^{2} + (1 - b)^{2} 36 - 12 a + a^{2} + 1 - 2 b + b^{2} a^{2} + b^{2} - 12 a - 2 b + 37 = = = = r^{2} r^{2} r^{2} r^{2} ... (2)$

Selanjutnya

$r^{2} a^{2} + b^{2} - 10 b + 25 12 a - 10 b + 2 b + 25 - 37 12 a - 8 b - 12 12 a - 8 b = = = = = r^{2} a^{2} + b^{2} - 12 a - 2 b + 37 00 12 ... (3)$

Misalkan pusat lingkarannya $(a, b)$ , karena pusat lingkarannya terletak pada garis $12 x + 5 y - 25 = 0$ sehingga persamaannya menjadi $12 a + 5 b - 25 = 0$ . Eliminasi persamaan tersebut dengan persamaan $(3)$ untuk menentukan nilai $b$ .

$\underline{12 a - 8 b = 1212 a + 5 b = 25 -} - 13 b b = = - 13 1$

Substitusikan $b = 1$ untuk menentukan nilai $a$ ke salah satu persamaan diatas misalnya ke persamaan $(3)$ .

$12 a - 8 b 12 a - 8 (1) 12 a - 8 12 a a = = = = = 12121220 \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$

Titik pusat lingkaran diatas adalah $(\frac{5}{3}, 1)$ , untuk mencari jari-jari lingkaran substitusikan titik $(\frac{5}{3}, 1)$ ke persamaan $(1)$ atau $(2)$ .

$a^{2} + b^{2} - 10 b + 25 (\frac{5}{3})^{2} + 1^{2} - 10 (1) + 25 \frac{25}{9} + 1 - 10 + 25 \frac{25}{9} + 16 \frac{25 + 144}{9} \frac{169}{9} r^{2} r r = = = = = = = = = r^{2} r^{2} r^{2} r^{2} r^{2} r^{2} \frac{169}{9} \frac{169}{9} \frac{13}{3}$

Sehingga persamaan lingkaran melalui titik pusat $(\frac{5}{3}, 1)$ dan jari-jari $\frac{13}{3}$ sebagai berikut.

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2} (x - \frac{5}{3})^{2} + (y - 1)^{2} = (\frac{13}{3})^{2} x^{2} - \frac{10}{3} x + \frac{25}{9} + y^{2} - 2 y + 1 = \frac{169}{9} x^{2} + y^{2} - \frac{10}{3} x - 2 y + \frac{25}{9} + 1 - \frac{169}{9} = 0 x^{2} + y^{2} - \frac{10}{3} x - 2 y + \frac{25 + 9 - 169}{9} = 0 x^{2} + y^{2} - \frac{10}{3} x - 2 y - \frac{135}{9} = 0 (ruas kiri kanan kalikan 9) 9 x^{2} + 9 y^{2} - 30 x - 18 y - 135 = 0 (ruas kiri kanan bagi 3) 3 x^{2} + 3 y^{2} - 10 x - 6 y - 45 = 0$

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah C dan D.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

4.8 (11 rating)

Pertanyaan serupa

Persamaan lingkaran yang melalui titik ( − 3 , − 2 ) dan sepusat dengan lingkaran L ≡ x 2 + y 2 − 6 x + 8 y − 7 = 0 adalah ....

4.0

Jawaban terverifikasi

Tentukan pusat dan jari-jari dan kemudian persamaan lingkaran yang mempunyai diameter adalah garis yang menghubungkan titik-titik berikut. b . ( 0 , 0 ) dan ( 8 , 6 )

3.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui sebuah lingkaran melalui titik ( 4 , 0 ) , titik ( 0 , 4 ) , dan titik asal. Tentukan: a. Pusat lingkaran. b. Jari-jari lingkaran. c. Persamaan lingkaran.

5.0

Jawaban terverifikasi

Hitunglah persamaan lingkaran yang menyinggung garis 6 x + 8 y + 10 = 0 berpusat di lingkaran x 2 + y 2 − 6 x + 8 y − 19 = 0 ?

4.6

Jawaban terverifikasi

Tentukan pusat dan jari-jari dan kemudian persamaan lingkaran yang mempunyai diameter adalah garis yang menghubungkan titik-titik berikut. c . ( 2 , 1 ) dan ( − 2 , 9 )

2.5

Jawaban terverifikasi