Pertanyaan

Perhatikan pernyataan-pernyataan berikut! 1) Jika a n + 1 = 3 a n dan a 1 = 1 , maka a n < 3 bernilai benar untuk setiap bilangan asli n . 2) Jika a n + 1 = 2 1 a n + 2 dan a 1 = 8 , maka a n > 4 bernilai benar untuk setiap bilangan asli n . Dengan menggunakan induksi matematika, pernyataan yang bernilai benar ditunjukkan oleh nomor ....

Perhatikan pernyataan-pernyataan berikut!

1) Jika $a_{n + 1} = 3 a_{n}$ dan $a_{1} = 1$ , maka $a_{n} < 3$ bernilai benar untuk setiap bilangan asli n.

2) Jika $a_{n + 1} = \frac{1}{2} a_{n} + 2$ dan $a_{1} = 8,$ maka $a_{n} > 4$ bernilai benar untuk setiap bilangan asli n.

Dengan menggunakan induksi matematika, pernyataan yang bernilai benar ditunjukkan oleh nomor ....

1) saja
2) saja
1) dan 2)
tidak keduanya
tidak dapat ditentukan

N. Mustikowati

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Jakarta

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah C.

Pembahasan

Pernyataan 1 : Perhatikan pernyataan untuk setiap bilangan asli n. Karena akan dibuktikan pernyataan untuk setiap bilangan asli n, yaitu n ≥ 1 , maka langkah pertamanya adalah buktikan P 1 benar . LANGKAH 1 : Buktikan P 1 benar. Perhatikan pernyataan Kemudian didapat Karena , maka P 1 benar. LANGKAH 2 : Buktikan untuk sembarang bilangan asli k , jika P k bernilai benar mengakibatkan P k+1 bernilai benar. Perhatikan pernyataan Asumsikan bernilai benar. Perhatikan Perhatikan bahwa karena a k < 3 , maka Sehingga a k+1 < 3 Maka, P k+1 bernilai benar. Karena 1. P 1 benar. 2. Untuk sembarang bilangan asli k, jika P k bernilai benar mengakibatkan P k+1 bernilai benar. Maka, P n benar untuk setiap bilangan asli n, menurut prinsip induksi matematika. Pernyataan 2 : Perhatikan pernyataan untuk setiap bilangan asli n. Karena akan dibuktikan pernyataan untuk setiap bilangan asli n, yaitu n ≥ 1 , maka langkah pertamanya adalah buktikan P 1 benar. LANGKAH 1 : Buktikan P 1 benar . Perhatikan pernyataan Kemudian didapat Karenaa 1 = 8 > 4, maka P 1 benar. LANGKAH 2 : Buktikan untuk sembarang bilangan asli k, jika P k bernilai benar mengakibatkan P k+1 bernilai benar. Perhatikan pernyataan Asumsikan bernilai benar. Perhatikan Perhatikan bahwa karena , maka Sehingga . Maka, P k+1 bernilai benar. Karena 1. P 1 benar. 2. Untuk sembarang bilangan asli k,jika P k bernilai benar mengakibatkan P k+1 bernilai benar. Maka, P n benar untuk setiap bilangan asli n,menurut prinsip induksi matematika. Dengan demikian, menggunakan induksi matematika, pernyataan yang bernilai benar ditunjukkan oleh nomor 1) dan 2). Jadi, jawaban yang tepat adalah C.

Pernyataan 1 :

Perhatikan pernyataan

untuk setiap bilangan asli n.

Karena akan dibuktikan pernyataan untuk setiap bilangan asli n, yaitu n ≥ 1, maka langkah pertamanya adalah buktikan P₁ benar.

LANGKAH 1 : Buktikan P₁ benar.

Perhatikan pernyataan

Kemudian didapat

Karena , maka P₁ benar.

LANGKAH 2 : Buktikan untuk sembarang bilangan asli k, jika P_k bernilai benar mengakibatkan P_k+1 bernilai benar.

Perhatikan pernyataan

Asumsikan

bernilai benar.

Perhatikan

Perhatikan bahwa karena a_k < 3 , maka

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell a subscript k plus 1 end subscript end cell equals cell square root of 3 a subscript k end root end cell row blank less than cell square root of 3 times 3 end root end cell row blank equals cell square root of 9 end cell row blank equals 3 end table end style

Sehingga a_k+1 < 3

Maka, P_k+1 bernilai benar.

Karena

1. P₁ benar.

2. Untuk sembarang bilangan asli k, jika P_k bernilai benar mengakibatkan P_k+1bernilai benar.

Maka, P_n benar untuk setiap bilangan asli n, menurut prinsip induksi matematika.

Pernyataan 2 :

Perhatikan pernyataan

untuk setiap bilangan asli n.

Karena akan dibuktikan pernyataan untuk setiap bilangan asli n, yaitu n ≥ 1, maka langkah pertamanya adalah buktikan P₁ benar.

LANGKAH 1 : Buktikan P₁ benar.

Perhatikan pernyataan

Kemudian didapat

Karena a₁ = 8 > 4, maka P₁ benar.

LANGKAH 2 : Buktikan untuk sembarang bilangan asli k, jika P_k bernilai benar mengakibatkan P_k+1bernilai benar.

Perhatikan pernyataan

Asumsikan

bernilai benar.

Perhatikan

Perhatikan bahwa karena , maka

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell a subscript k plus 1 end subscript end cell equals cell 1 half a subscript k plus 2 end cell row blank greater than cell 1 half open parentheses 4 close parentheses plus 2 end cell row blank equals cell 2 plus 2 end cell row blank equals 4 end table end style

Sehingga .

Maka, P_k+1 bernilai benar.

Karena

1. P₁benar.

2. Untuk sembarang bilangan asli k, jika P_k bernilai benar mengakibatkan P_k+1 bernilai benar.

Maka, P_n benar untuk setiap bilangan asli n, menurut prinsip induksi matematika.

Dengan demikian, menggunakan induksi matematika, pernyataan yang bernilai benar ditunjukkan oleh nomor 1) dan 2).

Jadi, jawaban yang tepat adalah C.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

4.5 (2 rating)

Pertanyaan serupa

Perhatikan pernyataan berikut! P n : 2 n < 2 n + 1 untuk setiap bilangan asli n . Dengan menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ....

5.0

Jawaban terverifikasi

Perhatikan pernyataan berikut! \style{font-size:14px}n^\style{font-size:14px}2" height="34" role="math" src="data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAGcAAAAiCAYAAABC1McmAAAACXBIWXMAAA7EAAAOxA...

220

5.0

Jawaban terverifikasi

Untuk setiap bilangan asli n , diketahui pernyataan-pernyataan sebagai berikut: 1 ) 3 n < n 3 . 2 ) 3 n > ( n + 1 ) 2 . Dengan menggunakan induksi matematika, pernyataan yang bernilai bena...

0.0

Jawaban terverifikasi

Perhatikan pernyataan-pernyataan berikut! 1) i = 1 ∑ n ( − 1 ) i > 0 untuk n bilangan ganjil positif. 2) untuk n bilangan bulat positif kelipatan 3. Dengan menggunakan prinsip induksi ma...

0.0

Jawaban terverifikasi

Untuk bilangan-bilangan bulat positif n , diketahui pernyataan-pernyataan berikut. 1) 3 n < n ! untuk n > 4 2) 2 n < n 2 untuk Pernyataan yang bernilai benar berdasarkan prinsip indu...

0.0

Jawaban terverifikasi