Perhatikan gambar kurva berikut ini! Luas daerah yang di arsir pada gambar di atas dapat dihitung dengan ….

Pertanyaan

Perhatikan gambar kurva berikut ini!

Luas daerah yang di arsir pada gambar di atas dapat dihitung dengan …. $\;$

$begin mathsize 14px style integral subscript a superscript b g left parenthesis x right parenthesis space d x end style$
$begin mathsize 14px style integral subscript b superscript a g left parenthesis x right parenthesis space d x end style$
$begin mathsize 14px style integral subscript a superscript 0 g left parenthesis x right parenthesis space d x minus integral subscript 0 superscript b g left parenthesis x right parenthesis space d x end style$
$begin mathsize 14px style integral subscript 0 superscript b g left parenthesis x right parenthesis space d x minus integral subscript a superscript 0 g left parenthesis x right parenthesis space d x end style$
$begin mathsize 14px style integral subscript a superscript 0 g left parenthesis x right parenthesis space d x plus integral subscript 0 superscript b g left parenthesis x right parenthesis space d x end style$

Pembahasan Soal:

Luas daerah pertama yaitu luas daerah yang dibatasi oleh kurva $begin mathsize 14px style g left parenthesis x right parenthesis equals y end style$ , sumbu- $begin mathsize 14px style x end style$ , dan interval $begin mathsize 14px style a less or equal than x less or equal than 0 end style$ . Oleh karena itu, didapat bentuk integral sebagai berikut.

$begin mathsize 14px style Luas space straight I equals negative integral subscript a superscript 0 g left parenthesis x right parenthesis space d x end style$

Kemudian, luas daerah kedua yaitu luas daerah yang dibatasi oleh kurva $begin mathsize 14px style g left parenthesis x right parenthesis equals y end style$ , sumbu- $begin mathsize 14px style x end style$ , dan interval $begin mathsize 14px style 0 less or equal than x less or equal than b end style$ . Oleh karena itu, didapat hasil sebagai berikut.

$begin mathsize 14px style Luas space II equals integral subscript 0 superscript b g left parenthesis x right parenthesis space d x end style$

Akibatnya, luas daerah seluruhnya dapat ditulis sebagai berikut.

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell Luas space total end cell equals cell Luas space straight I space plus space Luas space II end cell row blank equals cell negative integral subscript a superscript 0 g left parenthesis x right parenthesis space d x plus integral subscript 0 superscript b g left parenthesis x right parenthesis space d x end cell row blank equals cell integral subscript 0 superscript b g left parenthesis x right parenthesis space d x minus integral subscript a superscript 0 g left parenthesis x right parenthesis space d x end cell end table end style$

Jadi, jawaban yang tepat adalah D.

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

S. Luke

Terakhir diupdate 07 Oktober 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva f(x)=x2+6x−7 dan sumbu-x pada interval - 3 ≤ x ≤ 2 adalah … satuan luas.

Pembahasan Soal:

Buat sketsa grafik $begin mathsize 14px style straight f left parenthesis straight x right parenthesis equals straight x squared plus 6 straight x minus 7 end style$ terlebih dahulu agar diketahui letak luas daerah yang akan dihitung, di bawah sumbu-x atau di atas sumbu-x.

Perhatikan bahwa perpotongan kurva dengan sumbu-x terletak pada koordinat berikut ini.

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell straight f left parenthesis straight x right parenthesis end cell equals 0 row cell straight x squared plus 6 straight x minus 7 end cell equals 0 row cell left parenthesis straight x minus 1 right parenthesis left parenthesis straight x plus 7 right parenthesis end cell equals 0 end table end style$

Diperoleh x = 1 atau x = - 7.

Koordinat perpotongannya adalah (1,0) dan (-7,0). Sedangkan perpotongan kurva dengan sumbu-y terletak pada koordinat :

y = f(0) = - 7

Diperoleh perpotongan kurva di (0,-7). Kemudian koordinat puncak kurva terletak pada koordinat:

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell straight x subscript straight p end cell equals cell negative fraction numerator straight b over denominator 2 straight a end fraction end cell row blank equals cell negative 6 over 2 end cell row blank equals cell negative 3 end cell row blank blank blank row cell straight y subscript straight p end cell equals cell straight f left parenthesis negative 3 right parenthesis end cell row blank equals cell left parenthesis negative 3 right parenthesis squared plus 6 left parenthesis negative 3 right parenthesis minus 7 end cell row blank equals cell negative 16 end cell end table end style$

Maka koordinat puncak di (-3,-16). Diperoleh gambar sketsa grafik berikut ini.

Perhatikan bahwa luas daerah yang diarsir terbagi menjadi dua bagian. Pertama luas di bawah sumbu-x dan kedua luas di atas sumbu-x.

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell Luas space straight I end cell equals cell negative integral subscript negative 3 end subscript superscript 1 straight f left parenthesis straight x right parenthesis dx end cell row blank equals cell negative integral subscript negative 3 end subscript superscript 1 left parenthesis straight x squared plus 6 straight x minus 7 right parenthesis dx end cell row blank equals cell negative open parentheses 1 third straight x cubed plus 3 straight x squared minus 7 straight x vertical line subscript negative 3 end subscript superscript 1 close parentheses end cell row blank equals cell negative open square brackets open parentheses 1 third left parenthesis 1 cubed right parenthesis plus 3 left parenthesis 1 squared right parenthesis minus 7 left parenthesis 1 right parenthesis close parentheses minus open parentheses 1 third left parenthesis negative 3 right parenthesis cubed plus 3 left parenthesis negative 3 right parenthesis squared minus 7 left parenthesis negative 3 right parenthesis close parentheses close square brackets end cell row blank equals cell 11 over 3 plus 39 end cell row blank equals cell 128 over 3 end cell end table end style$

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell Luas space II end cell equals cell integral subscript 1 superscript 2 straight f left parenthesis straight x right parenthesis dx end cell row blank equals cell integral subscript 1 superscript 2 left parenthesis straight x squared plus 6 straight x minus 7 right parenthesis dx end cell row blank equals cell 1 third straight x cubed plus 3 straight x squared minus 7 straight x vertical line subscript 1 superscript 2 end cell row blank equals cell open parentheses 1 third left parenthesis 2 cubed right parenthesis plus 3 left parenthesis 2 squared right parenthesis minus 7 left parenthesis 2 right parenthesis close parentheses minus open parentheses 1 third left parenthesis 1 cubed right parenthesis plus 3 left parenthesis 1 squared right parenthesis minus 7 left parenthesis 1 right parenthesis close parentheses end cell row blank equals cell 2 over 3 plus 11 over 3 end cell row blank equals cell 13 over 3 space satuan space luas end cell end table end style$

Maka diperoleh,

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell Luas space total end cell equals cell Luas space straight I plus Luas space II end cell row blank equals cell 128 over 3 plus 13 over 3 end cell row blank equals cell 47 space satuan space luas end cell end table end style$

Jadi, jawaban yang tepat adalah C.

Roboguru

Perhatikan gambar berikut ini! Luas daerah di bawah kurva tersebut yang dibatasi oleh dan sumbu-x pada interval 0≤x≤3 adalah … satuan luas.

Pembahasan Soal:

Perhatikan bahwa luas daerah yang akan dihitung pada interval $0 less or equal than x less or equal than 3$ . Dengan menggunakan aturan luas pada trapesium, dapat dhitung tinggi trapesium $open parentheses increment x close parentheses$ dan alas-alas trapesiumnya.

$begin mathsize 14px style increment straight x equals fraction numerator 3 minus 0 over denominator 3 end fraction equals 1 end style$

Kemudian dari gambar tersebut diperoleh $h open parentheses 0 close parentheses$ , $h open parentheses 1 close parentheses$ , $h open parentheses 2 close parentheses$ , dan $h open parentheses 3 close parentheses$ sebagai berikut.

$begin mathsize 14px style straight h left parenthesis 0 right parenthesis equals 3 straight h left parenthesis 1 right parenthesis equals 2 straight h left parenthesis 2 right parenthesis equals 3 straight h left parenthesis 3 right parenthesis equals 6 1 half end style$

Luas daerah di bawah kurva dihitung sebagai berikut.

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row Luas equals cell fraction numerator increment x over denominator 2 end fraction left square bracket h left parenthesis 0 right parenthesis plus 2 h left parenthesis 1 right parenthesis plus 2 h left parenthesis 2 right parenthesis plus h left parenthesis 3 right parenthesis right square bracket end cell row blank equals cell 1 half open parentheses 3 plus 2 left parenthesis 2 right parenthesis plus 2 left parenthesis 3 right parenthesis plus 6 1 half close parentheses end cell row blank equals cell 1 half open parentheses 3 plus 4 plus 6 plus 6 1 half close parentheses end cell row blank equals cell 1 half open parentheses 39 over 2 close parentheses end cell row blank equals cell 9 3 over 4 space satuan space luas end cell end table$

Dengan demikian, luas daerah di bawah kurva yang dibatasi sumbu- $x$ pada interval $0 less or equal than x less or equal than 3$ adalah $9 3 over 4$ satuan luas.

Jadi, jawaban yang tepat adalah A.

Roboguru

Perhatikan gambar berikut ini! Luas daerah yang diarsir pada gambar di atas adalah … satuan luas.

Pembahasan Soal:

Ingat kembali untuk menghitung luas daerah yang dibatasi kurva $f (x)$ dan interval $a \leq x \leq b$ di bawah sumbu-x $x$ adalah

$begin mathsize 14px style Luas equals negative integral subscript straight a superscript straight b straight f left parenthesis straight x right parenthesis dx end style$

Sehingga diperoleh luas daerah tersebut sebagai berikut.

$Luas = = = = = = - \int_{- 3}^{1} f (x) dx - \int_{- 3}^{1} (x^{3} + 2 x^{2} - 4) dx - (\frac{1}{4} x^{4} + \frac{2}{3} x^{3} - 4 x ∣_{- 3}^{1}) - [\frac{1}{4} (1^{4}) + \frac{2}{3} (1^{3}) - 4 (1)] + [\frac{1}{4} (- 3)^{4} + \frac{2}{3} (- 3)^{3} - 4 (- 3)] \frac{37}{12} + \frac{57}{4} \frac{52}{3} satuan luas$

Sehingga diperoleh luas daerah yang diarsir pada gambar di atas adalah $\frac{52}{3} satuan luas$ .

Oleh karena itu, jawaban yang tepat adalah B.

Roboguru

Perhatikan gambar kurva f(x)=−x2+15x berikut ini! Jika luas daerah yang diarsir pada gambar di atas adalah 504 satuan luas, maka nilai k bilangan bulat positif yang memenuhi adalah ….

Pembahasan Soal:

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row Luas equals cell integral subscript 0 superscript straight k left parenthesis negative straight x squared plus 15 straight x right parenthesis dx end cell row 504 equals cell negative 1 third straight x cubed plus 15 over 2 straight x squared vertical line subscript 0 superscript straight k end cell row 504 equals cell open parentheses negative 1 third straight k cubed plus 15 over 2 straight k squared close parentheses minus 0 end cell row 504 equals cell fraction numerator negative 2 straight k cubed plus 45 straight k squared over denominator 6 end fraction end cell row cell 3.024 end cell equals cell negative 2 straight k cubed plus 45 straight k squared end cell row cell 2 straight k cubed minus 45 straight k squared plus 3.024 end cell equals 0 end table end style$

Faktorkan menggunakan cara Horner hingga diperoleh,

$begin mathsize 14px style stack stack left parenthesis straight k minus 12 right parenthesis with underbrace below with straight k equals 12 below stack stack left parenthesis 2 straight k squared minus 21 straight k minus 252 right parenthesis with underbrace below with straight k space bukan space bilangan space bulat below equals 0 end style$

Maka diperoleh k yang memenuhi adalah 12.

Roboguru

Jika dengan merupakan fungsi genap dan merupakan fungsi ganjil, maka hasil dari adalah ...

Pembahasan Soal:

Perhatikan perhitungan berikut!

$begin mathsize 12px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell integral subscript negative 3 end subscript superscript 3 f open parentheses x close parentheses open parentheses g open parentheses x close parentheses minus 1 close parentheses space d x end cell equals cell integral subscript negative 3 end subscript superscript 3 open square brackets f open parentheses x close parentheses g open parentheses x close parentheses minus f open parentheses x close parentheses close square brackets space d x end cell row 6 equals cell integral subscript negative 3 end subscript superscript 3 f open parentheses x close parentheses g open parentheses x close parentheses space d x minus integral subscript negative 3 end subscript superscript 3 f open parentheses x close parentheses space d x end cell end table end style$

Diketajui $undefined$ merupakan fungsi genap dan $undefined$ merupakan fungsi ganjil. Akibatnya, didapat hubungan berikut ini.

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f open parentheses negative x close parentheses end cell equals cell f open parentheses x close parentheses end cell row cell g open parentheses negative x close parentheses end cell equals cell negative g open parentheses x close parentheses end cell end table$

Misal $begin mathsize 14px style h open parentheses x close parentheses equals f open parentheses x close parentheses g open parentheses x close parentheses end style$ , maka didapat hasil perhitungan sebagai berikut.

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell h open parentheses negative x close parentheses end cell equals cell f open parentheses negative x close parentheses g open parentheses negative x close parentheses end cell row blank equals cell negative f open parentheses x close parentheses g open parentheses x close parentheses end cell row blank equals cell negative h open parentheses x close parentheses end cell end table end style$

Karena $h open parentheses negative x close parentheses equals negative h open parentheses x close parentheses$ ,maka $undefined$ merupakan fungsi ganjil.

Oleh karena itu, didapat perhitungan sebagai berikut.

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row 6 equals cell integral subscript negative 3 end subscript superscript 3 f open parentheses x close parentheses g open parentheses x close parentheses space d x minus integral subscript negative 3 end subscript superscript 3 f open parentheses x close parentheses space d x end cell row 6 equals cell 0 minus 2 integral subscript 0 superscript 3 f open parentheses x close parentheses space d x end cell row 6 equals cell negative 2 integral subscript 0 superscript 3 f open parentheses x close parentheses space d x end cell row cell negative 3 end cell equals cell integral subscript 0 superscript 3 f open parentheses x close parentheses space d x end cell end table$

Dengan demikian, hasil dari $integral subscript 0 superscript 3 f open parentheses x close parentheses space d x$ adalah $negative 3$ .

Oleh karena itu, jawaban yang tepat adalah B.

Roboguru