Iklan

Pertanyaan

Perhatikan gambar berikut! Sebuah kristal kalium karbonat yang diamati melalui sebuah mikroskop memiliki bentuk sebuah segidelapan seperti yang ditunjukkan dalam gambar. Titik-titik sudutnya relatif terhadap satu sistem sumbu koordinat yang sesuai adalah A ( 1 , − 5 , 2 ) , B ( 6 , − 3 , 4 ) , C ( 7 , 1 , 0 ) , D ( 2 , − 1 , − 2 ) , E ( − 4 , 9 , 10 ) dan F ( 12 , − 13 , − 8 ) . Tunjukkan bahwa diagonal ruang AC dan EF dari kristal ini saling berpotongan tegak lurus.

Perhatikan gambar berikut!

Sebuah kristal kalium karbonat yang diamati melalui sebuah mikroskop memiliki bentuk sebuah segidelapan seperti yang ditunjukkan dalam gambar. Titik-titik sudutnya relatif terhadap satu sistem sumbu koordinat yang sesuai adalah  dan . Tunjukkan bahwa diagonal ruang AC dan EF dari kristal ini saling berpotongan tegak lurus.

8 dari 10 siswa nilainya naik

dengan paket belajar pilihan

Habis dalam

00

:

19

:

17

:

22

Klaim

Iklan

A. Acfreelance

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

diagonal ruang AC dan EF dari kristal tersebut saling berpotongan tegak lurus di titik ( 4 , − 2 , 1 ) .

diagonal ruang AC dan EF dari kristal tersebut saling berpotongan tegak lurus di titik 

Pembahasan

Jawaban yang benar adalah terbukti bahwadiagonal ruang AC dan EF dari kristal tersebut saling berpotongan tegak lurus di titik ( 4 , − 2 , 1 ) . Ingat bahwa vektor posisi suatu titik, merupakan vektor dari titik asal hingga ke titik yang dimaksud. Sedangkan vektor posisititik A ( a 1 ​ , a 2 ​ , a 3 ​ ) terhadap titik B ( b 1 ​ , b 2 ​ , b 3 ​ ) , yaitu: BA = ( a 1 ​ , a 2 ​ , a 3 ​ ) − ( b 1 ​ , b 2 ​ , b 3 ​ ) Perkalian vektor u ( u 1 ​ , u 2 ​ , u 3 ​ ) dengan skalar k dapat dilakukan sebagaimana rumus berikut: k u ​ = = ​ k ( u 1 ​ , u 2 ​ , u 3 ​ ) ( k u 1 ​ , k u 2 ​ , k u 3 ​ ) ​ Vektor AC dapat diperoleh dari perhitungan berikut: AC ​ = = = ​ ( 7 , 1 , 0 ) − ( 1 , − 5 , 2 ) ( 7 − 1 , 1 − ( − 5 ) , 0 − 2 ) ( 6 , 6 , − 2 ) ​ Vektor EF dapat diperoleh dari perhitungan berikut: EF ​ = = = ​ ( 12 , − 13 , − 8 ) − ( − 4 , 9 , 10 ) ( 12 − ( − 4 ) , − 13 − 9 , − 8 − 10 ) ( 16 , − 22 , − 18 ) ​ Misalkan titik O adalah titik asal, titik tengah AC adalah G, dan titik tengah EF adalah H. Untuk menunjukkan bahwa diagonal ruang AC dan EF saling berpotongan, maka dapat ditunjukkan bahwa titik G dan titik H adalah titik yang sama. Vektor posisi titik G dapat diperoleh dari penjumlahan vektor dengan metode segitiga, yaitu: OG ​ = = = = = = ​ OA + AG ( 1 , − 5 , 2 ) + 2 1 ​ AC ( 1 , − 5 , 2 ) + 2 1 ​ ( 6 , 6 , − 2 ) ( 1 , − 5 , 2 ) + ( 3 , 3 , − 1 ) ( 1 + 3 , − 5 + 3 , 2 − 1 ) ( 4 , − 2 , 1 ) ​ Vektor posisititik H dapat diperoleh dari penjumlahan vektor dengan metode segitiga, yaitu: OH ​ = = = = = = ​ OE + EH ( − 4 , 9 , 10 ) + 2 1 ​ EF ( − 4 , 9 , 10 ) + 2 1 ​ ( 16 , − 22 , − 18 ) ( − 4 , 9 , 10 ) + ( 8 , − 11 , − 9 ) ( − 4 + 8 , 9 − 11 , 10 − 9 ) ( 4 , − 2 , 1 ) ​ Karena OG = OH , maka titik G dan titik H merupakan titik yang sama. Sehingga, diagonal ruang AC dan EF dari kristal tersebut saling berpotongan di titik ( 4 , − 2 , 1 ) . Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa diagonal ruang AC dan EF saling tegak lurus. Ingat bahwa hasil perkalian dot product dua vektor u = ( a , b , c ) dan v = ( x , y , z ) yang saling tegak lurus adalahsebagai berikut: u ⋅ v a x + b y + cz ​ = = ​ 0 0 ​ Sehingga untuk membuktikan diagonal ruang AC dan EF saling tegak lurus, maka perlu ditunjukkan bahwa hasil perkalian dot product antara vektor AC dan EF adalah 0. Berikut adalah hasil kali dot product kedua vektor tersebut: AC ⋅ EF ​ = = = = ​ ( 6 , 6 , − 2 ) ⋅ ( 16 , − 22 , − 18 ) ( 6 ) ( 16 ) + ( 6 ) ( − 22 ) + ( − 2 ) ( − 18 ) 96 − 132 + 36 0 ​ Karena hasil kali dot productvektor AC dan EF adalah 0, maka diagonal ruang AC dan EFsaling tegak lurus. Dengan demikian, diagonal ruang AC dan EF dari kristal tersebut saling berpotongan tegak lurus di titik ( 4 , − 2 , 1 ) .

Jawaban yang benar adalah terbukti bahwa diagonal ruang AC dan EF dari kristal tersebut saling berpotongan tegak lurus di titik .

Ingat bahwa vektor posisi suatu titik, merupakan vektor dari titik asal hingga ke titik yang dimaksud. Sedangkan vektor posisi titik  terhadap titik , yaitu:

Perkalian vektor  dengan skalar  dapat dilakukan sebagaimana rumus berikut:

Vektor  dapat diperoleh dari perhitungan berikut:

Vektor  dapat diperoleh dari perhitungan berikut:

Misalkan titik O adalah titik asal, titik tengah AC adalah G, dan titik tengah EF adalah H. Untuk menunjukkan bahwa diagonal ruang AC dan EF saling berpotongan, maka dapat ditunjukkan bahwa titik G dan titik H adalah titik yang sama. Vektor posisi titik G dapat diperoleh dari penjumlahan vektor dengan metode segitiga, yaitu:

Vektor posisi titik H dapat diperoleh dari penjumlahan vektor dengan metode segitiga, yaitu:

Karena , maka titik G dan titik H merupakan titik yang sama. Sehingga, diagonal ruang AC dan EF dari kristal tersebut saling berpotongan di titik .

Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa diagonal ruang AC dan EF saling tegak lurus. Ingat bahwa hasil perkalian dot product dua vektor  dan  yang saling tegak lurus adalah sebagai berikut:

Sehingga untuk membuktikan diagonal ruang AC dan EF saling tegak lurus, maka perlu ditunjukkan bahwa hasil perkalian dot product antara vektor  dan  adalah 0. Berikut adalah hasil kali dot product kedua vektor tersebut:

 

Karena hasil kali dot product vektor  dan  adalah 0, maka diagonal ruang AC dan EF saling tegak lurus.

Dengan demikian, diagonal ruang AC dan EF dari kristal tersebut saling berpotongan tegak lurus di titik 

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

7

Iklan

Pertanyaan serupa

Gambar OADC.BEFG adalah paralelpipedum yaitu padatan dengan enam sisi. Setiap sisi jajargenjang yang berseberangan kongruen. O adalah titik asal. A, B, dan C masing-masing memiliki vektor posisi ⎝ ⎛ ​...

1

0.0

Jawaban terverifikasi

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Roboguru

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Download di Google PlayDownload di AppstoreDownload di App Gallery

Produk Ruangguru

Hubungi Kami

Ruangguru WhatsApp

+62 815-7441-0000

Email info@ruangguru.com

[email protected]

Contact 02140008000

02140008000

Ikuti Kami

©2024 Ruangguru. All Rights Reserved PT. Ruang Raya Indonesia